Partición equilibrada de $\{\ln 3, \ln 4,\dots,\ln n\}$

Question

Para un número entero positivo $n\ge 3$ , dejemos que $A_n=\{\ln 3, \ln 4,\dots,\ln n\}$ . ¿Existe $N$ tal que para todo $n>N$ el conjunto $A_n$ puede dividirse en dos conjuntos de forma que sus sumas no difieran en más de $1$ ?

Creo que para impar $n$ sería posible dividir el conjunto como $\{\ln 3,\ln 5,\dots,\ln n\}$ y $\{\ln 4,\ln 6,\dots,\ln (n-1)\}$ . La diferencia de sumas es $\ln\left(\frac{3\cdot 5\cdot\dots n}{4\cdot 6\cdot\dots(n-1)}\right)$ . La proporción dentro de $\ln$ no debe ser demasiado grande (exigimos que no sea mayor que $e$ ).

Answer 1

$$\ln\frac{(k+1)(k+2)}{k(k+3)}=\ln\frac{k^2+3k+2}{k^2+3k}=\ln\left(1+\frac2{k^2+3k}\right)\lt\frac2{k^2+3k}\;.$$

Así

$$\begin{align} \sum_{k=0}^\infty\left(-\ln(j+4k)+\ln(j+4k+1)+\ln(j+4k+2)-\ln(j+4k+3)\right) &\lt\sum_{k=0}^\infty\frac2{(j+4k)^2+3(j+4k)} \\ &\le\sum_{k=0}^\infty\frac2{(1+4k)^2+3(1+4k)} \\ &= \frac\pi{12}+\frac{\ln2}2 \\ &\lesssim0.61\;. \end{align}$$

Así que sólo necesitamos un conjunto para cada residuo distinto de cero módulo $4$ que tenga una diferencia inferior a $0.39$ por ejemplo:

$$\ln3+\ln4+\ln5-\ln6-\ln7=\ln\frac{10}7\lesssim0.36\;,\\ \ln4+\ln5+\ln7-\ln3-\ln6-\ln8=\ln\frac{35}{36}\gtrsim-0.03\;,\\ \ln3+\ln4+\ln5+\ln7-\ln6-\ln8-\ln9=\ln\frac{35}{36}\gtrsim-0.03\;.$$