Un ejemplo donde GCD depende del dominio

Question

Primero un poco de notación. Dado un dominio $R$$x,a,b \in R$, escribo $x=gcd(a,b)_R$ significa que $x$ es un mcd de a$a$$b$$R$.

Quiero encontrar un ejemplo de un MCD-dominio de $R$, un subdominio $S \subseteq R$, y dos elementos de $a, b \in S$ tal de que no hay ninguna $x \in S$ tal que $x=gcd(a,b)_R$$x=gcd(a,b)_S$. Aviso que esto no es suficiente para encontrar un elemento $x \in S$ tal que $x=gcd(a,b)_R$ pero $x \neq gcd(a,b)_S$.

Puedo demostrar que esto es imposible en tan poco como un Bezout de dominio, pero no puedo demostrar que esto es imposible en una mera MCD-dominio. No sé que muchos ejemplos de GCD-dominios que no son Bezout dominios en el primer lugar.

ETA: Como se sugiere a continuación, también quise $S$ a ser un MCD-dominio.

Answer 1

(Editar: la primera versión era sobre lcm en lugar de gcd). Tomar $R=k[u,v,w]$, $a=uv$, $b=vw$. Entonces$gcd_R(a,b)=v$ (veces constante). Ahora deja $S=k[a,b]$. Como$a$ y$b$ son independientes,$gcd_S(a,b)=1$ (veces constante). ¿Derecha?

Editar: aquí hay un ejemplo aún más simple:$R=k[u,v]$,$a=u$,$b=uv$,$S=k[a,b]$. Entonces$a|b$ en$R$, pero$a$ y$b$ son ambos irreducibles en$S$.

Answer 2

Si no requiere que$S$ sea un dominio de GCD, aquí tiene un ejemplo simple: deje$R=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$ y deje$S=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$. Entonces$R$ es un dominio GCD (de hecho, un PID). Dejar $a=2$, $b=1+\sqrt{-3}$. Como$a|b$ en$R$, cualquier gcd de$a$ y$b$ debe ser un asociado de$2$. Sin embargo, en$S$, los únicos divisores comunes de$a$ y$b$ son$1$ y$-1$, por lo que no hay gcd de$a$ y$b$ en$R$ puede ser un divisor común de$a$ y$b$ en$S$.

Answer 3

Toma$S=\mathbb{Z}[X]$ y$R=\mathbb{Z}+X\mathbb{Q}[X]$. Entonces$gcd_S (2,X)=1$ y$gcd_R(2,X)=2$, donde tanto$R$ como$S$ son dominios GCD.