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Límite inferior de Cramer-Rao para cualquier estimador insesgado

La primera parte de una pregunta que estoy tratando de resolver pide encontrar el estimador de máxima verosimilitud para $\theta$ para un pdf $f_X(x)=\frac{2x}{\theta^2}$ , $0 < x \le \theta$ , $0$ de lo contrario. ( $X_1, X_2, X_3, \ldots , X_n$ son independientes e iid)

Lo que tengo hasta ahora es lo siguiente:

$$L(\theta) = \begin{cases} \dfrac{2^n \prod(X_i)}{\theta^{2n}}, & \max X_i < \theta, \\[8pt] 0, & \max X_i > \theta \end{cases} $$

(Lo siento no pude averiguar cómo ponerlo en un solo paréntesis)

Desde $\frac{2^n \prod(X_i)}{\theta^{2n}}$ es decreciente en función de $\theta$ , $L(\theta)$ se maximiza en $\theta = \max (X_i)$ es decir, $\hat{\theta} = \max(X_i)$

$$F_{\hat\theta}(x) = \left(\frac{x^2}{\theta^2}\right)^n,\mbox{ for } 0 < x \le \theta. $$

$$E[\hat{\theta}] = \int_0^\theta x\,2n \frac{x^{2n}}{\theta^{2n}} \, dx = \frac{2n}{2n+1} \theta.$$

Ahora me gustaría encontrar el límite inferior de CR para cualquier estimador insesgado en el problema anterior. Creo que entiendo la teoría de la CRLB, es decir, lo que está haciendo, pero estoy teniendo problemas con su aplicación en este problema.

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antiquity Puntos 21

Suponiendo que $X_i < \theta$ para todos $i$ la log-verosimilitud es $$ n \log 2 + \sum \log (X_i) -2n \log \theta$$

La información de Fisher es la expectativa del cuadrado de la derivada (wrt $\theta$ ) de esta cantidad, es decir

$$\mathbb E \left[ \left. \left( \frac{2n}{\theta} \right)^2 \right| \theta \right] = \frac{1}{n} \frac{4n^2}{\theta^2}$$

Entonces el límite inferior C-R dice que el MSE de cualquier estimador insesgado $\hat\theta$ es al menos tan grande como el recíproco de éste, es decir $$\mathrm{Var}(\hat\theta) \geq \frac{\theta^2}{4n}$$

Con tu estimador insesgado, si quieres encontrar el MSE, necesitas hacer una integral múltiple ( $n$ veces), que tiene un $\max$ función implicada, lo cual, si no me equivoco, es difícil, si no imposible, de hacer analíticamente. Por lo tanto, lo mejor que puedes hacer es encontrar el límite inferior C-R, que es el objetivo de este ejercicio.

(Por lo demás, en general, si calculas y encuentras que tu MSE es igual al límite C-R, entonces sabes que el estimador que tienes es el "mejor" en el sentido de minimizar el MSE).

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