La primera parte de una pregunta que estoy tratando de resolver pide encontrar el estimador de máxima verosimilitud para $\theta$ para un pdf $f_X(x)=\frac{2x}{\theta^2}$ , $0 < x \le \theta$ , $0$ de lo contrario. ( $X_1, X_2, X_3, \ldots , X_n$ son independientes e iid)
Lo que tengo hasta ahora es lo siguiente:
$$L(\theta) = \begin{cases} \dfrac{2^n \prod(X_i)}{\theta^{2n}}, & \max X_i < \theta, \\[8pt] 0, & \max X_i > \theta \end{cases} $$
(Lo siento no pude averiguar cómo ponerlo en un solo paréntesis)
Desde $\frac{2^n \prod(X_i)}{\theta^{2n}}$ es decreciente en función de $\theta$ , $L(\theta)$ se maximiza en $\theta = \max (X_i)$ es decir, $\hat{\theta} = \max(X_i)$
$$F_{\hat\theta}(x) = \left(\frac{x^2}{\theta^2}\right)^n,\mbox{ for } 0 < x \le \theta. $$
$$E[\hat{\theta}] = \int_0^\theta x\,2n \frac{x^{2n}}{\theta^{2n}} \, dx = \frac{2n}{2n+1} \theta.$$
Ahora me gustaría encontrar el límite inferior de CR para cualquier estimador insesgado en el problema anterior. Creo que entiendo la teoría de la CRLB, es decir, lo que está haciendo, pero estoy teniendo problemas con su aplicación en este problema.