Caracteres de las representaciones

Question

Lo estoy revisando para mi examen de las representaciones de los grupos y estoy atascado en la siguiente pregunta.

Que $\ G,H \ $ ser grupos finitos. Demostrar que si $ \ \chi \ $ es un personaje de $G$ $ \ \phi \ $ es un personaje de $H$

\begin{align} \chi \ \ast \ \phi:& G \times H \longrightarrow \mathbb{C} \ & (g,h) \longmapsto \chi(g) \ \phi(h) \end{align}

es un personaje de $G \times H$.

Cualquier ayuda sería mucho apreció!.

Answer 1

$\def\tr{\mathrm{tr}\;}\def\GL{\mathrm{GL}}\def\CC{\mathbb C}$ Deje $\rho:G\to\GL_n(\CC)$ $\sigma:H\to\GL_m(\CC)$ dos grupo homomorphisms. Déjanos el nombre de los componentes de las matrices en la imagen de $\rho$ en la forma obvia de modo que podemos escribir $\rho(g)=(\rho_{i,j}(g))_{1\leq i,j\leq n}$, y del mismo modo para $\sigma$.

Por otro lado, vamos a $I=\{(i,j):1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m\}$ y háganos índice de los coeficientes de la matriz de $A\in\GL_{nm}(\CC)$$I$, por lo que podemos escribir $A=(a_{(i,j),(k,l)})_{(i,j),(k,l)\in I}$. Esto tiene sentido, por supuesto, porque las matrices en $\GL_{mn}(\CC)$ ha $mn=|I|$ filas y columnas.

Considere la función $\lambda:G\times H\to\GL_{mn}(\CC)$ tal que $\lambda(g,h)=(\lambda_{(i,j),(k,l)}(g,h))_{(i,j),(k,l)\in I}$ con $$\lambda_{(i,j),(k,l)}(g,h)=\rho_{i,k}(g)\sigma_{j,l}(h)$$ for all $(i,j)$, $(k,l)\in I$.

Con algo de trabajo-que es mejor hacerlo en privado, uno puede mostrar que $\lambda$ es un homomorphism de grupos. Un poco de computación, a continuación, muestra que para cada una de las $(g,h)\in G\times H$ hemos $$\tr\lambda(g,h)=\tr\rho(g)\cdot\tr\sigma(h).$$ This means that the character of $\lambda$ is has the relation you want with the characters of $\rho$ and $\sigma$.