¿Qué topologías functorial existen en el espacio de mapas lineares entre LCTVS?

Question

Programa de instalación: consideramos que la categoría de localmente convexo topológicos, espacios vectoriales con morfismos como lineal continua y mapas. Esta vez, estoy explícitamente permitiendo que el axioma de elección (o al menos el de Hahn-Banach Teorema) - por razones que se harán evidentes en un momento. El espacio de lineal continua y los mapas de un LCTVS a otro puede ser dado a una variedad de estructuras como un LCTVS, por ejemplo:

1. Convergencia uniforme sobre conjuntos acotados (fuerte topología)
2. Convergencia uniforme en relativamente compacto conjuntos
3. Convergencia uniforme sobre compactos de conjuntos
4. Convergencia uniforme sobre conjuntos finitos (topología simple)
5. Pointwise convergencia en cada uno de los anteriores (variedades de topologías débiles)

Estos ejemplos son todos functorial en la fuente y de destino.

Pregunta: ¿hay alguna otra functorial topologías?

Antecedentes: Un día, reunidos alrededor de una mesa en el cuarto de atrás de la n-categoría de café, Todd Trimble y yo (con la ayuda ocasional de otros) estaban hablando de monoidal estructuras en la categoría de LCTVS (estábamos destinados a estar hablando de un suave espacios). Llegamos bastante lejos y encontrar varias de estas estructuras que se diferencian, esencialmente, sólo hasta la topología. En particular, hay una estructura monoidal (incluso simétrica) para cada uno de los uniformes de las topologías anteriores. Y si alguien se le ocurre otra functorial basado en topología de convergencia uniforme, habrá una estructura monoidal para que. La discusión se estancó un poco hacia el final y me gusta bastante para el final y ver si es posible clasificar todos los monoidal estructuras en LCTVS.

Por cierto, el HBT es importante en este porque le permite a uno para mostrar que la unidad de una estructura monoidal en LCTVS tiene que ser $\mathbb{R}$. La unidad ha de satisfacer la propiedad de que la $\dim \mathcal{L}(X) = 1$. Con HBT, esto es sólo $\mathbb{R}$. Sin HBT, uno podría tener $\mathbb{R} \oplus \ell^\infty/c_0$.

Answer 1

Si $V$ es un espacio vectorial, hay un mínimo de topología $\tau_V$$V$, lo que hace que todos lineal mapas de $V$ a cualquier otro espacio vectorial continuo (considerar la topología inicial de la colección de todos los lineales de los mapas de $V$ a todos los espacios vectoriales que son cocientes de $V$---este es un conjunto de mapas, lo cual es bueno, pero no es realmente necesario) Esta topología localmente convexa: es el mayor localmente convexo de la topología, de hecho.

Si usted dotar $L(V,W)$, el espacio de lineal continua y mapas entre los dos lcvts $V$$W$, con la topología $\tau_{L(V,W)}$, luego de recibir un functor.

(Usted puede jugar a este juego en muchas formas: seleccionar un conjunto $\mathcal F$ de su favorito localmente convexo topológicos, espacios vectoriales - por ejemplo, supongamos $\mathcal F=\{L^{2/3}(\mathbb R), \mathcal E'\}$, - y dotar a $L(V,W)$, para todos los lctvs $V$$W$, con menos de topología $\tau_\mathcal F$ para que todos lineal mapas de $L(V,W)$ a un elemento de $\mathcal F$ son continuas. Esto le da de nuevo un functor.) (Por otra parte, uno puede hacer lo mismo con el final de las topologías, por supuesto)

La observación de que estas topologías son probablemente inútil :)

Más tarde: no Hay otra fuente de ejemplos, generalizar el uniforme de las topologías. Supongamos que usted tiene una asignación a cada lctvs $V$ de un conjunto $C(V)\subseteq\mathcal P(V)$ de los subconjuntos de a $V$ que es functorial, en el sentido de que siempre que $f:V\to W$ es un continuo lineal mapa de lctvs, a continuación,$\{f(A):A\in C(V)\}\subseteq C(W)$. Luego hay functorial la topología en $L(V,W)$ dado por la convergencia uniforme sobre los conjuntos de $C(V)$.

Si usted toma $C(V)$ para el conjunto de los subconjuntos acotados de $V$, de los subconjuntos compactos de $V$, de relativamente compacto subconjuntos de a $V$, de los subconjuntos finitos de $V$, luego de obtener sus ejemplos 1 a 4. Pero hay otras opciones para $C(V)$: el conjunto de estrellas en forma de subconjuntos de a $V$ (es decir, subconjuntos $S\subseteq V$ tal manera que hay un punto de $x\in S$ tal que para todos los $y\in S$ el segmento de $[x,y]$ está contenido en $S$; $\mathbb R$- - - $\mathbb C$ correspondiente noción cuyo nombre se me escapa ahora), dicen. Hay otros.