Cómo

Question

En mi introducción ecuaciones diferenciales clase a menudo hemos utilizado la "equivalencia", declaró en el título. A mí me parece que, de alguna manera, el paso intermedio $$ \frac{dx}{f(x)} = g(y)dy$$ is being used, in which case $dx$ and $dy$ están siendo utilizados como números de una fracción! La equivalencia es intuitivamente claro para mí, pero me gustaría saber cuál es la justificación para este proceso informal. ¿Cómo se podía dar rigor a esta equivalencia?

Para ser claro, yo estoy en busca de un tratamiento formal así como la motivación de por qué podemos trabajar con $dx$'s de esta manera.

Answer 1

Hablo de esto como integración por sustitución para evitar hablar de diferenciales.

Tomar\begin{equation} \frac{dy}{dx} = f(y)g(x) \implies \frac{1}{f(y)} \frac{dy}{dx} = g(x) \end{equation} luego integramos $x$

\begin{equation} \int \frac{1}{f(y)} \frac{dy}{dx} dx= \int g(x)dx. \end{equation} ya que estamos pensando en función de $y$ $x$, que 'integrar por sustitución' o realizar ' $u$ sustitución de '.

\begin{equation} \int \frac{1}{f(y(x))} \frac{dy}{dx} dx= \int\frac{dy}{f(y)}. \end{equation}

Esto es simplemente el integral equivalente a la regla de la cadena.

Answer 2

$\frac{dx}{dy}=f(x)g(y)\Leftrightarrow\Delta x=f(x)g(y)\Delta y+o(\Delta y)\Leftrightarrow\frac{\Delta x}{f(x)}=g(y)\Delta y+\frac{o(\Delta y)}{f(x)}\Leftrightarrow\lim{\Delta x\rightarrow0}\sum\frac{\Delta x}{f(x)}=\lim{\Delta y\rightarrow0}\sum(g(y)\Delta y+\frac{o(\Delta y)}{f(x)})=\lim_{\Delta y\rightarrow0}\sum g(y)\Delta y\Leftrightarrow\int\frac{dx}{f(x)}=\int g(y)dx$

Nota: $\Delta x=(x+\Delta x)-x$ es la variación infinitesimal en el punto $x$; $o(\Delta x)$ es una función que satisface $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0$.

Answer 3

Ya que una de las etiquetas adjuntas a esta pregunta es "infinitesimals", yo pensaba que iba a elaborar en MrSlunk del comentario anterior: "Es una de esas cosas increíbles en matemáticas que parecen tan intuitivo, pero apuntan a una estructura más profunda". Para aclarar la estructura implicada, tenga en cuenta que en el contexto de una verdadera extensión de los reales, uno realmente puede representar la derivada como la razón de infinitesimals $dy$$dx$. A continuación, la relación $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$, literalmente, puede ser reescrito como $\frac{dx}{f(x)}=g(y)dy$, y luego se integran para producir el resultado. Este tratamiento aparece en Keisler "Elementales de cálculo" en las páginas 464-465, ver http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.htmly de manera retroactiva justifica la expresión "separación de variables".