¿Cómo pasar de una acción de semigrupo derecha a una acción de semigrupo izquierda?

Question

Sea $S$ un semigrupo y $X$ cualquier conjunto.

Definimos una acción izquierda de $S$ en $X$ como una función $\sigma: S \times X \rightarrow X$ con la propiedad de que $(st)x = s(tx)$, donde definimos $gx = \sigma(g,x)$ para todo $g \in G$, $x \in X.

De manera similar, una acción derecha de $S$ en $X$ es una función $\tau: X \times S \rightarrow X$ con la propiedad $x(st) = (xs)t$, donde $xg = \tau(x,g)$ para todo $g \in G$, $x \in X.

¿Existe una biyección natural entre las acciones izquierdas y derechas de $S$? ¿Una acción izquierda induce de alguna manera natural una acción derecha?

Básicamente, si he demostrado algo para cada acción izquierda de un semigrupo particular, ¿existe una forma más rápida de demostrarlo para cada acción derecha también?

Answer 1

No. Las acciones derechas y las acciones izquierdas de un semigrupo pueden ser significativamente diferentes.
(Yo iba a dar el mismo ejemplo que Boris.)

De hecho, es muy común que la acción izquierda de un semigrupo en sí mismo sea diferente de la acción derecha. Por eso tenemos el concepto de gráficos de Cayley izquierdos y derechos para semigrupos.

Lo que obtienes es que una acción izquierda de un semigrupo $S$ induce una acción derecha del 'semigrupo opuesto' de $S$, al que denominaré $S^{\operatorname{opp}}$. Este es el semigrupo con el mismo conjunto subyacente que $S$, pero con una multiplicación invertida, de modo que en $S^{\operatorname{opp}}$, para cualquier $s, t \in S$ tenemos $st = t\circ s$, donde $\circ$ es la operación binaria de $S$.

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En general, un semigrupo no es necesariamente isomorfo a su semigrupo opuesto, pero es lo que se llama anti-isomorfo. Un anti-isomorfismo es una homomorfismo biyectivo $\phi: S\rightarrow T$ tal que $\phi(xy) = \phi(y)\phi(x)$ para todo $x, y \in S.
Ten en cuenta que la razón por la que nunca escuchas sobre anti-isomorfismos en teoría de grupos es que los grupos anti-isomorfos son isomorfos. Si $G$ y $H$ son grupos y $\phi: G\to H$ es un anti-isomorfismo, entonces $\psi: G\to H$ dado por $x\mapsto [\phi(x)]^{-1}$ es un isomorfismo.

Si quieres demostrar un resultado sobre acciones de alguna clase de semigrupos, entonces si la clase está cerrada bajo anti-isomorfismo (como lo están muchas clases naturales de semigrupos), será suficiente demostrar el resultado solo para acciones izquierdas.

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Answer 2

Las acciones izquierda y derecha de los semigrupos (¡a diferencia de los grupos!) pueden organizarse de manera bastante diferente. Sea $S$ un semigrupo de ceros izquierdos (es decir, con identidad $ab=a$). Considere sus acciones en sí mismo por multiplicación (es decir, $X=S$). Entonces, para la acción derecha $X$ consiste en puntos fijos, pero para la acción izquierda cada $a\in S$ mapea todos los $X$ en el punto único $a$.