¿Existen las hipérbolas en el plano complejo?

Question

Mi pregunta es algo larga, pero intentaré ser conciso y sin ambigüedades en mi explicación.

En mi clase de matemáticas de la escuela secundaria nos presentaron recientemente la gráfica de una hipérbola, y nos dieron ciertos datos para derivar su ecuación.

Mi pregunta sólo se centra en la parte final de la derivación, cuando la ecuación tratada era:

$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$

Donde $e$ representa la excentricidad, y $a$ representa una constante positiva.

Basta con dividir por $a^2(1 - e^2)$ y utilizar la sustitución $b^2 = a^2(1 - e^2)$ , donde $b$ es otra constante positiva, y se encuentra la ecuación de una elipse:

$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$

Se nos mostró que todo lo que había que hacer para obtener la ecuación de un hipérbola en su lugar fue multiplicar la ecuación original por $-1$ para que se convierta en..:

$x^2(e^2 - 1) - y^2 = a^2(e^2 - 1)$

La sustitución también cambia ligeramente, pasando a ser $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ . Entonces se puede encontrar la ecuación de una hipérbola.

Mi pregunta es simplemente por qué era necesaria esta multiplicación. Me parece que multiplicar ambos lados de una ecuación por algún factor no cambia nada de ella, y por lo tanto el único cambio real fue cuando $b^2 = a^2(1 - e^2)$ se convirtió en $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ . ¿Por qué era esto necesario y qué implica sobre las hipérbolas?

¿Era necesario porque para las hipérbolas la excentricidad $e$ es mayor que uno, por lo que $b^2 = a^2(1 - e^2)$ implicaría $b$ es un número complejo? Y si es así, ¿se puede pensar que la operación restringe el dominio y el rango de una hipérbola al conjunto de todos los números reales?

Esa es mi pregunta principal, pero tengo otra, que es un poco más vaga:

Si Si las hipérbolas tienen una componente compleja, ¿el trazado de una de ellas en el plano complejo forma una sección transversal de una forma tridimensional o cuatridimensional, como una elipse forma una sección transversal de un balón de fútbol? Dicho de otro modo: las elipses están limitadas en el conjunto de todos los números reales, ¿las hipérbolas están limitadas en el conjunto de todos los números complejos?

Answer 1

Mi pregunta sólo se centra en la parte final de la derivación, cuando la ecuación tratada era: $$x^2(1e^2)+y^2=a^2(1e^2)$$

Obsérvese en esta ecuación que si $e < 0$ entonces los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ son ambos positivos, indicando una elipse. Si $e > 0$ entonces el coeficiente de $x^2$ es negativo mientras que el de $y^2$ (que es $1$ ) sigue siendo positivo. Como son de signos opuestos, se trataría de una hipérbola.

En cualquier caso, dividiendo por el lado derecho se obtiene $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1e^2)} = 1$$

Si se multiplica por $-1$ primero, y luego dividirlo, se obtiene

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)} = 1$$

Estas dos ecuaciones son exactamente iguales. En ambas, si $e < 1$ entonces el coeficiente de $y^2$ es positivo, y si $e>1$ el coeficiente es negativo.

La razón para hacer esto es que queremos sustituir $b^2$ para el denominador del $y^2$ plazo, y $b^2$ debe ser positivo. Así que cuando $e < 1$ utilizamos la primera forma y dejamos que $b^2 = a^2(1-e^2)$ . Cuando $e > 1$ utilizamos la segunda forma y dejamos que $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ .

Así que multiplicando por $-1$ no cambió la ecuación. Sólo permitió que el $b^2$ sustitución cuando $e > 1$ .

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Las elipses están acotadas en el conjunto de todos los números reales, ¿las hipérbolas están acotadas en el conjunto de todos los números complejos?

Supongo que con esto se refiere a dejar $x, y$ ser valores complejos, no sólo números reales. Entonces la respuesta es obviamente no, ya que los números reales son también números complejos. Como las hipérbolas no tienen límites en los reales, tampoco tienen límites en los números complejos. En cambio, lo que ocurre es que las elipses tampoco tienen límites. De hecho, estas "elipses complejas" e "hipérbolas complejas" tienen la misma forma. Nótese que $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$$ equivale a $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{(iy)^2}{b^2} = 1$$

Así que $(x,y)$ se encuentra en la elipse si y solo si $(x,iy)$ se encuentra en la hipérbola. Multiplicando por $i$ gira el plano complejo 90 grados.

Así que la única diferencia entre las elipses y las hipérbolas es el plano con el que se corta la forma compleja 4D para obtener la forma real 2D.

Pero usted ya está familiarizado con una relación así. Al fin y al cabo, has elegido la etiqueta "secciones cónicas". Supongo que sabes de dónde viene ese término. (Aunque la forma que se corta es diferente: los conos son 3D, mientras que esta forma compleja es 4D).