¿Fórmula relacionados con rastros de un mapa lineal, su restricción a un subespacio invariante y el mapa del cociente inducida?

Question

Que $V$ sea un espacio finito-dimensional del vector, $T\colon V \to V$ un mapa lineal y $W \subset V$ un subespacio de invariantes $T$ (es decir, $T(W) \subset W$). Entonces es un mapa bien definido cociente inducida del $\overline{T}\colon V/W \to V/W$.

Ahora recuerdo haber visto la fórmula determinante siguiente: $\det(T) = \det(\overline{T}) \det(T|_W)$, donde $T|_W\colon W \to W$ es la restricción de $T$ % subespacio $W$(aunque ya no recuerdo la prueba).

¿Hay alguna fórmula similar sobre los rastros de $T$, $\overline{T}$ y $T|_W$?

Answer 1

La idea es la misma. Elegir una base $\mathfrak{B}$$W$, y extender a una base $\mathfrak{B} \cup \mathfrak{C}$ $V$ donde $\mathfrak{C} \subseteq V \setminus W$. Con respecto a esta base, la matriz de $T$ será de la forma de bloque $$\begin{bmatrix} B & A\\ 0 & C \end{bmatrix},$$ donde $A, B, C$ son de tamaño adecuado matrices, con $B$ $C$ matrices cuadradas.

Ahora $B$ representa la acción de $T$ $W$ con respecto al $\mathfrak{B}$, e $C$ la acción de la $T$$V/W$, con respecto a la base dada por la imagen de $\mathfrak{C}$. Por lo tanto el determinante de la fórmula, y la analógica $$\operatorname{tr}(T) = \operatorname{tr}(T|_W) + \operatorname{tr}(\overline{T}).$$ para el seguimiento.