Geodésica y parametrización

Question

Estaba revisando algunos de mis apuntes de licenciatura sobre relatividad general y me encontré con una afirmación en la que menciono que si la ecuación geodésica se satisface para los parámetros $\alpha$ y $\beta$ : $$\frac{d^2x^{\mu}}{d\alpha^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\frac{dx^{\nu}}{d\alpha}\frac{dx^{\rho}}{d\alpha}=0$$ y $$\frac{d^2x^{\mu}}{d\beta^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\frac{dx^{\nu}}{d\beta}\frac{dx^{\rho}}{d\beta}=0$$ Entonces $$\alpha=C_1\beta+C_2$$ donde $C_1$ y $C_2$ son constantes.

Bueno, siento que esto es correcto porque la ecuación geodésica es de segundo orden en el parámetro con respecto al cual diferenciamos. Pero también siento que me falta algo más profundo. ¿Cuál es la interpretación física de esto?

Answer 1

En realidad hay un punto delicado que utiliza la validez del teorema de unicidad para las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Es cierto que las re-parametrizaciones afines preservan la ecuación de las geodésicas. Sin embargo, el hecho inverso es más articulado.

Supongo que la métrica es $C^2$ para garantizar la validez del teorema de existencia y unicidad de las geodésicas para unas condiciones iniciales dadas.

La declaración precisa que busca debe ser la siguiente.

Propuesta . Supongamos que la métrica es $C^2$ y que $x^\mu = x^\mu(\alpha)$ en coordenadas locales, es una geodésica definida para $\alpha \in [a,b]$ . Sólo hay dos posibilidades mutuamente excluyentes referidas a la clase de $C^2$ re-parametrizaciones $\alpha= \alpha(\beta)$ donde $d\alpha/d\beta \neq 0$ para $\beta \in [c,d]$ .

(a) $x^\mu= x^\mu(\alpha)$ es la geodésica constante y $x^\mu=x'^\mu(\beta) = x^\mu(\alpha(\beta))$ sigue resolviendo la ecuación geodésica para cada re-parametrización.

(b) $x^\mu= x^\mu(\alpha)$ no es la geodésica constante y $x^\mu=x'^\mu(\beta) = x^\mu(\alpha(\beta))$ resuelve la ecuación geodésica si y sólo si $\beta = C_1\alpha + C_2$ donde $C_1 \neq 0$ .

Prueba . En primer lugar, observe que si $x=x(\alpha)$ es la geodésica constante, entonces toda reparametrización producirá la geodésica constante. Si $x=x(\alpha)$ es una geodésica, entonces una reparametrización afín preserva trivialmente la ecuación de las geodésicas.

Para concluir tenemos que demostrar que sólo Se permiten re-parametrizaciones afines a menos que la geodésica sea constante.

Supongamos que cambia el parámetro $\alpha= \alpha(\beta)$ (siendo la función $C^2$ y $\frac{d\alpha}{d\beta} \neq 0$ en todas partes para tener una verdadera re-parametrización) y $x=x'(\beta):= x(\alpha(\beta))$ sigue satisfaciendo la ecuación geodésica (esta última la has escrito tú). Dado que $$\frac{d^2}{d\beta^2} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)^2\frac{d^2}{d\alpha^2} + \frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}\frac{d}{d\alpha}$$ comparando las dos ecuaciones de las geodésicas que aparecen en la pregunta inicial, se ve que
$$\frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}\frac{d x^\mu}{d\alpha}=0$$ a lo largo de la curva. Hay dos posibilidades: (a) $\frac{d x^\mu}{d\alpha}=0$ en algún lugar o (b) $\frac{d x^\mu}{d\alpha} \neq 0$ en todas partes. En el segundo caso $\frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}=0$ en todas partes para que $\alpha = C_1 \beta + C_2$ (donde $C_1\neq 0$ a la vista del requisito inicial $\frac{d\alpha}{d\beta} \neq 0$ ). Supongamos que, a la inversa, $\frac{d x^\mu}{d\alpha}|_{\alpha= \alpha_0}=0$ . En este caso la función $x^\mu(\alpha)= x^\mu(\alpha_0)$ satisface el problema de Cauchy que consiste en su primera ecuación geodésica y las condiciones iniciales $x^\mu(\alpha_0)$ y $\frac{d x^\mu}{d\alpha}|_{\alpha= \alpha_0}=0$ y esta es la única solución ya que se cumplen las hipótesis del teorema de unicidad. Así que $x^\mu(\alpha) = x^\mu(\alpha_0)$ constantemente.

QED

Ahora puedo presentar un significado geométrico de la clase de re-parametrizaciones afines de una geodésica.

NB . En adelante, asumo que se trata de geodésicas no constantes espaciales o temporales.

La ecuación de la geodésica se puede escribir $$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} =0$$ Esta formulación es intrínseca, $\nabla$ es la derivada covariante que surge de la métrica $g$ y $\dot{\gamma}$ es el vector tangente a la geodésica $\gamma = \gamma(t)$ . Como consecuencia de dicha ecuación, $$g(\dot{\gamma},\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}) =0$$ que se puede reescribir como $$\frac{1}{2}\nabla_{\dot{\gamma}}g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) =0\tag{0}$$ es decir $$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) =0\:. \tag{1}$$ Es evidente que la longitud del vector tangente $g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})$ es constante a lo largo de la geodésica. Esta propiedad no puede ser invariante bajo una re-parametrización arbitraria, ya que el vector tangente depende de la elección del parámetro.

Sin embargo, es posible caracterizar la clase de las re-parametrizaciones que preservan esta propiedad encontrando que son precisamente las re-parametrizaciones de clase ya encontradas las que dejan fija la forma de la ecuación geodésica.

Si $t=t(u)$ es un $C^2$ reaparición con $dt/du \neq 0$ en todas partes, definiendo $\sigma(u) := \gamma(t(u))$ (1) puede transformarse en el requisito equivalente $$\frac{d}{du}\left(\left(\frac{dt}{du}\right)^2 g(\dot{\sigma}(u), \dot{\sigma}(u)) \right) =0\:.$$ Expandiendo el lado izquierdo, utilizando $\frac{dt}{du} \neq 0$ junto con $g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) \neq 0$ (ya que la geodésica es una geodésica no constante de tipo espacial o temporal) y suponiendo que también la longitud de $\dot{\sigma}$ es constante $$\frac{d}{du}g(\dot{\sigma},\dot{\sigma}) =0\:. \tag{1}$$ encontramos $$\frac{d}{du} \left(\frac{dt}{du}\right)^2 =0\:.$$ Desde $\frac{dt}{du} \neq 0$ Esto equivale a $$\frac{d}{du}\frac{dt}{du} =0\:,$$ a saber: $u= C_1t + C_2$ con $C_1 \neq 0$ . Concluimos que si la re-parametrización produce una curva con vector tangente de longitud constante entonces la re-parametrización preserva la estructura de las ecuaciones de las geodésicas y viceversa .

En la relatividad y en la geometría diferencial, uno de los parámetros de una geodésica (no constante y no luminosa) tiene un significado físico/geométrico relevante: el tiempo adecuado o el parámetro de longitud de arco de las geodésicas. Sin embargo, según la respuesta de Ben Crowell, somos libres de cambiar nuestras unidades y también somos libres de fijar arbitrariamente el origen del parámetro y esperamos, es decir, de realizar una transformación afín arbitraria (no singular del parámetro). Como estas elecciones son completamente convencionales, las propiedades físicas/geométricas de la curva deben permanecer inalteradas. Este es el caso de la propia Ec.(0) y el hecho de que el vector tangente es constante a lo largo de la curva.

Existe otra clase de curvas cuyo vector tangente tiene longitud constante y esta propiedad se conserva si se re-parametrizan las curvas mediante transformaciones afines y estas transformaciones tienen un significado físicamente relevante. Me refiero a las curvas tangentes a campos vectoriales de Killing $K$ . Estas curvas se definen como $$\dot{\gamma}= K(\gamma(t))\:.$$ Como la métrica es invariante a lo largo de las órbitas de $K$ tenemos trivialmente $$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma})= \frac{d}{dt}g(K(\gamma(t)), K(\gamma(t)))=0\:.$$ Por otro lado $K$ es un campo de Killing si y sólo si $K' := cK$ es un campo de muerte para $c \neq 0$ . Las curvas integrales de $K'$ son los de $K$ con el parámetro reescalado $u= t/c$ . El origen del parámetro puede fijarse arbitrariamente y, por tanto, volvemos a descubrir la clase afín de las transformaciones.

Answer 2

Un ejemplo típico de parámetro afín sería el tiempo propio a lo largo de una geodésica semejante al tiempo. El hecho de que la curva sea una geodésica no depende de las unidades que utilice tu reloj ni de cuándo lo pongas en marcha.

Answer 3

Buena pregunta. Obviamente, si $a=C_1\beta+C_2$ entonces $$\text{d}a=C_1\text{d}\beta,$$ y la ecuación geodésica no cambia tras esta transformación si se multiplica por $C_1^2$ . Para responder a su pregunta, el significado más profundo es que la acción $$S = \int \text{ds}$$ es siempre lo mismo para las transformaciones lineales del parámetro. Una acción también puede considerarse como

1. una longitud de arco, o
2. la energía total durante un tiempo desde $$S=\int^tL(\dot{x},x)\text{d}t.$$

La unión de estas dos ideas revela que el mínimo La energía de un sistema en el tiempo seguirá siendo la misma para transformaciones lineales arbitrarias del parámetro de medición de la longitud. Esta afirmación codifica muchas cosas en realidad; una interesante es que la energía total se conserva localmente.