Considere la posibilidad de $f(x)=x^3+x^2-1$; a continuación,$f'(x)=3x^2+2x$, que se desvanece en$-2/3$$0$. Por lo tanto, $f$ tiene un máximo local en a $-2/3$ y un mínimo local en a $0$. Desde
$$
f(-2/3)=-\frac{8}{27}+\frac{4}{9}-1=\frac{-8+12-27}{27}=-\frac{23}{27}
$$
vemos que la ecuación tiene exactamente una solución real. Desde $f(0)=-1$$f(1)=1>0$, sabemos que esta raíz está en el intervalo de $(0,1)$.
Para aproximar la raíz podemos usar el método de Newton:
$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$
comenzando en $x_0=1$. Entonces
$$
x_1=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}=0.8
$$
y
$$
x_1=\frac{4}{5}-
\frac{\dfrac{4^3}{5^3}+\dfrac{4^2}{5^2}-1}
{3\dfrac{4^2}{5^2}+2\dfrac{4}{5}}=
\frac{4}{5}-\frac{1}{5}\frac{64+80-125}{48+40}=
\frac{4}{5}-\frac{19}{5\cdot 88}=\frac{333}{440}\approx0.7568
$$
Dado que el método ofrece como alternativa una aproximación por exceso y otro por defecto, podemos concluir que el primer dígito decimal es $7$.
Para comprobar de nuevo,
$$
f(0.7)=-0.167,
\qquad
f(0.8)=0.152
$$
así que el primer dígito decimal es $7$.
En realidad Cardán de las fórmulas de darle "explícitamente" la raíz. Set $y=1/x$; luego la ecuación es $y^3-y-1=0$; por Cardán de la fórmula de la única raíz real es
$$
y=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{27}}}
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{27}}}
\aprox 1.32471795724474602596
$$
y
$$
x=\frac{1}{y}\approx0.75487766624669276005
$$
De acuerdo a bc, con este valor de $x$ tenemos
$$
f(x)=-0.00000000000000000001
$$
de modo que parece una muy buena aproximación.
Su transformación puede trabajar así, pero es más complejo. Considere la posibilidad de
$$
g(x)=x^3-x^2+2x-1
$$
A continuación, $g'(x)=3x^2-2x+2$ tiene discriminante negativo, por lo que la función de $g$ es cada vez mayor. Su cero es entre el$0$$1$, y se puede encontrar con un método similar. Entonces usted necesita para encontrar su raíz cuadrada positiva.
