Si cualquier triángulo tiene en la mayoría de los 1 , los puntos pueden ser cubiertos por un rectángulo de área 2.

Question

Estoy trabajando en este problema durante algún tiempo, y yo no soy capaz de terminar el argumento:

Hay un número finito de puntos en el plano, tales que cada triángulo tiene área máxima de 1. Demostrar que los puntos pueden ser cubiertos por un rectángulo de área 2.

Mi progreso hasta ahora:

Considerar los dos puntos más de diferencia, a y B. Dibujar líneas a través de a y B, perpendicular a AB. Entonces cada punto tiene que ser entre las dos líneas, ya que AB tiene longitud máxima entre nuestro par de puntos. Ahora toma los puntos C y D, más aparte de la línea AB, en cada uno de los dos halfplanes determinado por el AB. Cada punto en el plano tiene que estar entre los dos mentiras a través de C y D, paralelo a AB .

El rectángulo determinado por las cuatro líneas nos da un área de más de 4, pero siento que este argumento se puede mejorar de alguna manera nos dará el área requerida de 2.

Gracias! (Edit: gracias por los consejos sobre los problemas de publicación aquí )

Answer 1

Aún más simple contraejemplo sería los puntos de esquina de cualquier no-rectangulares paralelogramo de área 2, por ejemplo,$(0,0)$, $(0,1)$, $(2,2)$ y $(2,1)$. Cualquier triángulos formados a partir de los puntos que debe tener la mitad del área del paralelogramo, es decir 1, pero como el paralelogramo no es un rectángulo, un rectángulo que cubre debe tener una superficie mayor de 2.

Answer 2

En el acuerdo de cuatro puntos por debajo, cada una de las $4$ triángulos tiene área de $1$.

$\hspace{7mm}$

Como $L\to\infty$, parece que el más pequeño rectángulo que encierra a la $4$ puntos tendría que ser $L\times4/L$, lo que le daría un área de $4$, no $2$.

Answer 3

Si el teorema es verdadero, un círculo que se aproxima por un polígono de manera suficiente los vértices verifica el teorema demasiado.

El radio del círculo es $r$. El rectángulo es un cuadrado y tiene área de $4 r^2$.

El triángulo de mayor área de un círculo es equilátero, por lo que tiene de área $3/2 \times r \times \sqrt{3}/2 \times r$.

Si el teorema es verdadero, $4r^2 \leq 2 \times (3/2 \times r \times \sqrt{3}/2 \times r)$.

Por lo $16 \leq 27 /2$. Contradicción.

El teorema parece ser falsa.

Answer 4

Yo creo que el teorema de que declaró que es falso, pero hay una variación simple de su declaración de que en realidad se puede probar!

revisado teorema: Dado un número finito, n, de puntos en un plano de tal manera que ninguno de los tres puntos forman un triángulo de área igual o menor a 1, entonces existe un triángulo de área 4 en el plano que contiene a todos los $n$ puntos dados.

Un rápido resumen de por qué esto es cierto:

-Tenemos un número finito de puntos en el plano, y por lo tanto un número finito de maneras para formar un triángulo. Así que hay un mínimo de límite superior $\alpha$ en las áreas de los triángulos, y al menos un triángulo tiene área de $\alpha$. Comience por dibujar este triángulo de vértices que llamaremos a,B y C, y de qué lado vamos a llamar a (AB), (BC), y (CA).

-Desde el triángulo ABC, se puede dibujar un triángulo más grande y, al hacerlo completar la prueba. Dibujar la línea (AB)', la cual es paralela a (AB) y pasa por el vértice C. Del mismo modo draw (BC)', la cual es paralela a (BC) y pasa por el vértice A, y (CA) " que es paralela a (CA) y pasa por el vértice B.
La intersección de (AB)',(BC)', y (CA)", es un triángulo de área $4*\alpha \leq 1 $, lo que vamos a llamar ABC'.

-El punto importante es que, por construcción, ABC' debe contener todos los n de nuestros puntos originales. De hecho, elegir un punto D distinto de a, B, C. se podría dibujar los triángulos ABD,ACD, o BCD, cada uno de los cuales tiene menos de o igual a $\alpha$. Teniendo en cuenta que $Area=\frac{bh}{2}$, podemos ver que el área(ABD)$\leq$área(ABC) implica que la distancia más corta entre D y (AB) debe ser menor o igual a la distancia más corta entre C y (AB). En otras palabras, D debe estar entre (AB) y (AB)' o entre (AB) y la reflexión de (AB)' (AB). Del mismo modo, las distancias más cortas entre D y (CA) y entre D y a (BC) deben ser, respectivamente, menor que o igual a la menor de las distancias entre B y (CA) y y (BC).
De manera que D debe estar también entre (CA) y (CA)' o (CA) y la reflexión (CA)' (CA), y D debe estar entre (BC) y (BC)' o (BC) la reflexión de (BC)' (BC). Esta restricción en donde el punto D puede mentir, puede ser demostrado fácilmente a ser equivalente a la restricción de que D debe estar en el triángulo ABC'. Así que hay un triángulo de área $4*\alpha$, que es menor que o igual a 4 por supuesto, que contiene todos los puntos de nuestro avión.

-De manera informal, esto prueba la versión revisada del teorema se dio. Lo sentimos que un par de años de retraso, espero que sea interesante o útil para alguien.