Encontrar 10 transporte $2\times 2$ matrices del mismo orden

Question

Demostrar que no existe 10 distintas real $2\times 2$ matrices que son pares los desplazamientos y todos de la misma orden finito.

Aquí, el orden de la matriz a es el entero más pequeño $k > 0$ tal que $A^k = I.$ También por 'pares de trayecto", me refiero a que si $\{A_1, \cdots, A_{10}\}$ son los diez matrices, a continuación, $A_i A_j = A_j A_i$ cualquier $i,j = 1,2,\cdots, 10$ $i\neq j.$

Álgebra lineal no es mi fuerte pero, no tengo ni idea de por dónde empezar. Las matrices que conmutan por lo que todos tienen los mismos vectores propios... así que dejando $A_1$ ser una matriz de todos estos vectores propios, $A_2 = A_1 + I$ tendría los mismos vectores propios, lo $A_2A_1 = A_1A_2.$ sin Embargo no estoy seguro de cómo tratar con ellos hacer el mismo orden.

Answer 1

Sugerencia primero. Definir %#% $ #%

Entonces $$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ representa la transformación lineal que gira de vectores en sentido antihorario un ángulo $R(\theta)$.

Segunda sugerencia. $\theta$ es primo.