Si un hecho aislado, cargada de cáscara esférica homogénea en la distribución de carga, el campo eléctrico en todo el interior es 0, por la Ley de Gauss. Es a la inversa verdad? Es decir, dado un hecho aislado, cargada de cáscara esférica tal que el campo eléctrico en todo el interior es 0, debe la distribución de carga en la shell de ser uniforme? Sospecho que la teoría de la medida, y si la afirmación es falsa, el contraejemplo probablemente tendrá que lidiar con no medible de conjuntos. Tenga en cuenta que yo estoy pidiendo sólo acerca de conchas esféricas. Gracias!
Respuestas
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Daniel Mahler
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2066
Cuando no hay campos externos de la carga debe estar distribuida de manera uniforme. Si usted tiene un campo externo y la esfera está hecha de material conductor, a continuación, va a actuar como una jaula de Faraday y los cargos se distribuyen a cancelar el campo dentro de la esfera, conduce a una uniforme distribución de carga en la superficie con un 0 campo en el interior de la esfera.
En todos los casos no hay campo en el interior de la esfera implica un potencial constante a través de ella, puesto que, por definición, el campo es el gradiente del potencial. Por lo tanto, no puede haber diferencias de potencial a lo largo de la superficie de la esfera, y por lo tanto la tangencial de la componente de campo debe ser 0 en todas partes en la superficie.
En ausencia de un campo externo, esto implica una uniforme distribución de carga en la superficie. Con un campo externo, los cargos deben ser distribuidas de tal manera que la suma de los potenciales en la superficie es constante para la componente tangencial del campo debido a los cargos exactamente cancela de que el campo externo en toda la superficie.
Sí, esto está garantizado por el teorema de unicidad para la ecuación de Poisson y de hecho es más general que el esférico cargado conchas.
Sin embargo, como otra respuesta indica, que si hay otras cargas presentan en otros lugares, la carga sobre la esfera cambiará para cancelar fuera del interior del campo del conductor.
Stefano
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763
Podemos suponer w.l.o.g. que el potencial eléctrico
$$\left. \Phi(r,\theta,\varphi) \right|_{r<r_0}~=~0$$
se desvanece en el interior. Como ya se ha argumentado en Daniel Mahler respuesta, una superficie de distribución de carga $\rho$ con apoyo en $r=r_0>0$ está lejos de ser único. De hecho, el lector puede comprobar que cualquier potencial eléctrico de la forma
$$ \Phi(r,\theta,\varphi) ~=~ H(r\!-\! r_0) \underbrace{\sum_{m\ell} \left(A_{ml} r^{\ell} +B_{m\ell}r^{-\ell-1} \right) Y_{m\ell}(\theta,\varphi)}_{\text{solución general de la ecuación de Laplace}} $$
conduce a una superficie de distribución de carga $\rho$ con apoyo en $r=r_0$ a través de la ecuación de Poisson. Aquí $H$ $Y_{m\ell}$ denotar la función escalón unitario y la armónicos esféricos, respectivamente.
