Un incontable familia de conjuntos medibles con medida positiva

Question

Hay una familia de conjuntos medibles $\{E_\alpha\}_{\alpha \in A}$ , discontinuo, innumerables y cada uno con medida positiva?

Answer 1

Depende de tu medir el espacio. Por ejemplo, si tomamos como tu medir el espacio $\mathbb{R}$ a contar con la medida, entonces la familia de los únicos trabajos.

Sin embargo, para un $\sigma$-finito medir el espacio (en particular, para la medida de Lebesgue), la respuesta es no. Supongamos que tu medir el espacio es $(X,\mu)$ y se puede escribir $X = \bigcup_{n = 1}^\infty X_n$ donde $\mu(X_n) < \infty$. Deje $\mathcal{E}$ ser cualquier familia de pares distintos, todos de los cuales tiene medida positiva. Vamos $$\mathcal{E}_{n,k} = \{ E \in \mathcal{E} : \mu(E \cap X_n) \ge 1/k\}.$$ A continuación, todos los $E \in \mathcal{E}$ se encuentra en al menos uno de los $\mathcal{E}_{n,k}$, lo $\bigcup_{n,k=1}^\infty \mathcal{E}_{n,k} = \mathcal{E}$. Ahora supongamos $E_1, \dots, E_m$ son conjuntos distintos de $\mathcal{E}_{n,k}$. Dado que estos conjuntos son disjuntos, tenemos $$\frac{m}{k} \le \sum_{i=1}^m \mu(E_i \cap X_n) \le \mu(X_n)$$ por lo $m \le k \mu(X_n)$. Por lo tanto la cardinalidad de a $\mathcal{E}_{n,k}$ es en la mayoría de las $k \mu(X_n)$; en particular, es finito. Así hemos demostrado que $\mathcal{E}$ es una contables de la unión de conjuntos finitos, por lo tanto contables.

Answer 2

Esto es imposible para la medida de Lebesgue. Por simplicidad, supongamos que estamos en el intervalo de $[0,1]$. Uno puede encontrar countably muchos de los conjuntos de cuya unión tiene una medida de 1, en el que caso de que el complemento tiene medida cero.