Podemos extender un linealmente independientes de la lista en un f.g. módulo de un anillo conmutativo?

Question

Digamos que tenemos un anillo conmutativo $A$ con identidad. Estamos dado que el $M$ es una f.g. $A$-módulo. Para cualquier elemento $m_1,...,m_n$$M$, tenemos un a-módulo homomorphism $\phi_{m_1,...,m_n}$ $A^n$ $M$definido por $\phi_{m_1,...,m_n}(a_1,...,a_n)=a_1m_1+...+a_nm_n$.

Por lo tanto $m_1,...,m_n$ se convierte en un linealmente independientes de la lista si y sólo si $\phi_{m_1,...,m_n}$ es inyectiva, a un palmo de la lista si y sólo si $\phi_{m_1,...,m_n}$ es surjective. Ahora nos dicen que $m_1,...,m_n$ es una base de M si y sólo si $\phi_{m_1,...,m_n}$ es bijective.

Supongamos que nos dan una linealmente independientes de la lista de $n_1,...,n_k$$M$, podemos decir $n_1,...,n_k$ puede extenderse a una base de $M$ si $n_1,...,n_k,m'_1,...,m'_r$ es una base para $M$ algunos $m'_1,...,m'_r \in M$.

Se me ocurrió esta pregunta cuando yo estaba tratando de generalizar la siguiente proposición con Sheldon Axler del Álgebra Lineal Hecho a la Derecha:

Cada linealmente independientes de la lista de vectores en un finito-dimensional espacio vectorial se puede extender a una base del espacio vectorial.

Answer 1

Esto no suele ser posible. Por un lado, un típico módulo de $M$ no tienen ninguna base en absoluto, por no hablar de uno extendido a partir de una base de $N$. Por ejemplo, tomar $A=\mathbb{Z}$, $M=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, y $N=0$. A continuación, el conjunto vacío es una base para $N$, pero no existe ninguna base para $M$.

Incluso si $M$ es un módulo (por lo que no tienen una base), se sigue normalmente no es posible ampliar una base de $N$ a una base de $M$. Por ejemplo, tomar $A=\mathbb{Z}$, $M=\mathbb{Z}$, y $N=2\mathbb{Z}$. A continuación, $\{2\}$ es una base para $N$, pero no se puede extender a una base de $M$ aunque $M$ es gratis.

En general, si $N$ es un módulo que es un submódulo de $M$, entonces una base de $N$ se extiende a una base de $M$ fib el cociente módulo de $M/N$ es gratuito, en cuyo caso se puede extender a cualquier fundamento de $N$ a una base de $M$ añadiendo elementos de $M$ cuales son preimages de una base de $M/N$.

(Tenga en cuenta que la generación finita es bastante irrelevante para esta discusión; de hecho, es una hipótesis innecesaria en el caso de espacios vectoriales).