¿Cómo puedo probar que cada operador lineal entre finito-dimensional de Hilbert espacios es limitada?

Question

Cuando aprendí basic linear algebra, "adjunto" fue definido sólo para el operador lineal entre finito-dimensional del producto interior de los espacios.

Ahora, estoy estudiando espacios de Hilbert y quiero que el pasado definición acorde con una nueva definición.

He probado siguiente teorema en basic linear algebra:

Deje $V,W$ ser producto interior espacios, por encima de $\mathbb{F}$.

Deje $T:V\rightarrow W$ ser un operador lineal.

Si $V$ es finito-dimensional, existe una única función de $T^*$ tal que $\langle T(x),y\rangle=\langle x,T^*(y)\rangle$.

Así que mi pregunta es;

¿Cómo puedo probar que $T$ está limitada al $V$ $W$ son finito-dimensional?

Por otra parte, es cierto al $V$ es finito-dimensional, sino $W$ es no?

Answer 1

Incluso si $W$ no es finito-dimensional, en el rango de $T$ será un finito-dimensional subespacio de $W$ (ya que es atravesado por la imagen de una base para la $V$), y que el subespacio es todo lo que importa para el acotamiento de $T$.

Así que sin pérdida de generalidad podemos suponer $W$ es finito dimensionales.

Elija bases ortonormales para$V$$W$, y escribir la matriz de $T$. A continuación, $\|T\|$ posiblemente no excedan la suma de los valores absolutos de la matriz de entradas.

Answer 2

Deje $v_k$ ser una base para $V$. Puesto que usted está en un espacio de Hilbert, se puede asumir que la base es ortonormales.

Si $v \in V$, vamos a $x_k = \langle v_k, v \rangle$, luego tenemos a $\sum_k |x_k|^2 = \|v\|^2$, y dejando $\|x\|_2^2 = \sum_k |x_k|^2$, $\|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2$ donde $n$ es la dimensión de la $V$.

A continuación, $\|T v\| = \|T ( \sum_k x_k v_k ) \| \le \sum_k \|T v_k\| |x_k| \le K \|x\|_1 \le \sqrt{n}K \|x\|_2= \sqrt{n}K \|v\|$ donde $K = \max_k \|T v_k\|$.

El mismo análisis se aplica en cualquier finito dimensionales normativa espacio, excepto que se utiliza el hecho de que cualquiera de las dos normas en un espacio de este tipo son equivalentes, en lugar de la relación explícita entre el $\|\cdot\|_1$ $\|\cdot\|_2$ utilizado anteriormente.