Límite de la función zeta de Riemann cuando la parte imaginaria tiende a infinito

Question

¿Es cierto que $$ \lim_{n\to \infty} \zeta(2+ni) =1 ?$$ Si no, ¿cuál es el valor del límite? ¿Y lo mismo pero con otras partes reales distintas de 2?

Answer 1

Para entender por qué no existe este límite, veamos un solo término que aparece en la suma, a saber $$\frac{1}{2^{2+ni}} = \frac{1}{4\cdot 2^{ni}}$$ Así que todo el cambio se produce en $2^{ni}$ . Tratando $n$ como una variable real (que puede o no haber querido decir), esto es periódico en $n$ . En particular, $2^{ni} = e^{in \log 2}$ para que esta sea periódica en $n$ con el período $2\pi/\log 2$ .

Del mismo modo, cada uno de los otros términos será periódico en $n$ pero con diferentes periodos. Así que los diferentes períodos son un poco extraños, pero ahora se puede ver que los valores oscilarán salvajemente, y no irán a $0$ .

Answer 2

Expandiendo la función, tenemos $$ \zeta(2+ni)=1+\frac{2^{-ni}}{2^2}+\frac{3^{-ni}}{3^2}+\frac{4^{-ni}}{4^2}+\cdots $$ Los términos (excepto el primero) giran alrededor del origen, cada uno con menor distancia, pero con mayor frecuencia. Es difícil demostrar que estos términos no se cancelan, por alguna razón, pero no hay ninguna razón, que yo pueda pensar, para pensar que lo hacen.

Los siguientes gráficos parecen apoyar la conclusión de que no hay cancelación.

A continuación se muestra un gráfico de las partes real e imaginaria de la primera $1000$ términos:

La parte real (en azul) está centrada en $1$ por el primer término.

Aquí hay un gráfico de la $1000$ términos en el plano complejo:

La vacante cerca de $1$ es de esperar, pero la asimetría en $x$ es interesante.