Desconcertante integral Doble

Question

Se me pidió para resolver esta integral doble: Calcular el área entre el $y=2x^2$ $y=x^2$ y el hyperbolae $xy=1$ $xy=2$ en

$$ \iint dx \,dy$$

Traté de resolverlo de comenzar con la consideración de que

$$x^2 \leq y \leq 2x^2 $$

suitabile para la integración de intervalo en $y$, la obtención de la forma incompleta

$$ \int^{x^2}_{2x^2} \int_\ldots^\ldots dx \,dy$$

pero también tengo $$1 \leq xy \leq 2$$ y me gustaría obtener un resultado en el que todavía tengo uno independiente variabile.

Por favor, alguien me puede ayudar? Gracias de antemano.

Answer 1

$y \in [x^2, 2x^2]$ puede ser interpretado como $\frac{y}{x^2} \in [1,2].$

Considerar el cambio de variables

• $u = \frac{y}{x^2} \in [1,2]$

• $v = xy \in [1,2]$

El Jacobiano es dada por

$$\frac1J = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -\frac{2y}{x^3} & \frac1{x^2} \\ y & x \end{vmatrix} = -\frac{3}{x^3} = -3u$$

por lo $$dx\,dy = |J| \,du\,dv = \frac1{3u} \, du\,dv$$

Por lo tanto, usted necesita para calcular

$$\int_{[1,2]^2} \frac{1}{3u}\,du\,dv= \frac13\ln 2$$

Answer 2

SUGERENCIA

Vamos a considerar el cambio de variables

• $u=x^2\implies 1\le u\le 2$
• $v=xy\implies 1\le v\le 2$

y

$$dudv=|J|dxdy=\begin{vmatrix}2x&0\\y&x\end{vmatrix}dxdy=2x^2dxdy\implies dxdy=\frac1{2u}dudv$$

Answer 3

La trama de las cuatro funciones. Vea donde se intersectan. Una vez que usted lo hace, usted encontrará que usted puede volver a escribir esta integral como:

$$\displaystyle \int_{ \tfrac{1}{ \sqrt[3]{2} } }^1\left( 2x^2-\dfrac{1}{x}\right)dx + \int_1^{\sqrt[3]{2}}\left(\dfrac{2}{x}-x^2\right)dx$$