Evaluar la integral indefinida $\int \tan(\frac{x}{3}) \, dx$

Question

Necesito ayuda para verificar por qué estoy recibiendo una respuesta incorrecta para la pregunta evaluar la integral $$\int \tan\left(\frac{x}{3}\right) \, dx$$

Simplifico la ecuación anterior utilizando las identidades trigonométricas para obtener $$\int \frac {\sin \left(\frac{x}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{3}\right)} \, dx$$

Utilizo el método de sustitución para encontrar $$ du = -\frac{1}{3} \sin(x/3) \, dx$$ y así $dx = \frac{-3\,du}{\sin\frac{x}{3}}$

Conecto el $u$ en la ecuación $$ \int \frac {\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{u} \cdot\frac {-3\,du}{\sin \left(\frac{x}{3}\right)}$$

Tacho el $\sin \left(\frac{x}{3}\right)$ y (aquí es donde puedo estar equivocándome), saco el $-3$ para que esté delante del signo de la integral ya que es una constante y resolver para $$-3 \int \frac{1}{u} \, du$$ y obtener la respuesta final $$ -3 \biggl|\,\ln \, \cos \frac{x}{3}\biggr| + C $$

Pero la respuesta en la parte posterior del libro es $ -\frac{1}{3} |\ln \, \cos \frac{x}{3}| + C $

Answer 1

¡Su libro está equivocado! Como comprobación, $$\frac{d}{dx}\left(-\frac13\bigg|\ln\cos\frac x3\bigg|\right)=-\frac1{3\cos\frac x3}\cdot\left(-\frac13\sin\frac x3\right)=\color{red}{\frac19}\tan\frac x3\neq \tan\frac x3.$$

Answer 2

(...) y obtener la respuesta final $$ -3 |\ln \, \cos \frac{x}{3}| + C $$

Pero la respuesta en la parte posterior del libro es $ -\frac{1}{3} |\ln \, \cos \frac{x}{3}| + C $

¡Puedes diferenciar para verificar pero tienes razón y el libro está equivocado!

Answer 3

A simple vista, es correcto, porque se dividirá por el $\frac 13$ cuando se saca de la función trigonométrica, no se multiplica por ella.

Sin embargo, esta hoja de fórmulas afirma que $$\int{\tan(x)dx}=\ln|\sec(x)|+C$$ (véase el $C4$ sección - página $9$ )

Answer 4

Sólo para hacer su vida un poco más simple sin esta fracción $\frac{x}{3}$ sólo usa u-sub.

Poner: $\frac{x}{3}=u$

Entonces $\int tan(\frac{x}{3})dx= 3\int tan\ u\ du= 3 $ ln |sec u| +C $=$ 3 ln|sec( $\frac{x}{3})|+C$

Answer 5

Tu libro está equivocado ya que se trata de una integral estándar y el valor es:

-3 ln|cos(x/3)| + C.

Si quiere verificar, diferencie esto y obtendrá

tan(x/3)