4 votos

${3^n\choose k}$ es divisible por $3$?

Cómo puedo probar que ${3^n\choose k}$ es divisible por $3$ para todos los enteros positivos valores de $n$? (donde $k$ es cualquier entero positivo menor que $3^n$) se Puede utilizar la inducción? Gracias.

3voto

Schleichermann Puntos 141

Sólo quiero demostrar la pertinencia de si $p$ es el primer y $0<t<p$ $p$ divide $\displaystyle \binom p t$

Considerar $$\begin{split}(x+y)^p & =\sum_{k=0}^p \binom p k x^{p-l} y^{k} \\ & =x^p+\binom p 1x^{p-1}y+\binom p 2x^{p-2}y^2+\cdots+\binom{p}{p-1}xy^{p-1}+y^p\\ & = x^p + y^p \mod p \end{split}$$

Por lo tanto $$\begin{split} (x+y)^{p^n} &= \left((x+y)^p\right)^{p^{n-1}} \\ &= \left(x^p+y^p \mod p\right)^{p^{n-1}}\\ &= (\left(x^p+y^p \mod p\right)^p)^{p^{n-2}}\\ &= \left(x^{p^2}+y^{p^2} \mod p\right)^{p^{n-2}}\\ & \vdots\\ & = x^{p^n}+y^{p^n} \mod p \end{split}$$

Pero también $$\begin{split} (x+y)^{p^n} & =\sum_{k=0}^{p^n} \binom{p^n}{k} x^{p^n-l} y^{k} \\ & =x^{p^n}+\binom{p^n}{1}x^{p^n-1}y+\binom{p^n}{2}x^{p^n-2}y^2+\cdots+\binom{p^n}{p^n-1}xy^{p^n-1}+y^{p^n}\\ & = x^{p^n}+y^{p^n} \mod p \end{split}$$

Por lo tanto, $p$ divide $\displaystyle\binom{p^n}{k}$ todos los $k$ $0<k<p^n$

2voto

DanielV Puntos 11606

Esto es una consecuencia de Lucas del Teorema:

$${a \choose b} \equiv \prod {a_j \choose b_j} \pmod p$$

para el prime $p$ donde$a = \sum_{j = 0}^n a_j ~p^j$$b = \sum_{k = 0}^n b_j~ p^j$.

La pregunta original es equivalente a mostrar (por $a=3^n$$\exists j.{a_j \choose k_j} \equiv 0 \pmod p$.

Tan sólo para mostrar que hay un par que $k_j > a_j$ que es observable desde el ternario representación de $3^n$$k$.

1voto

Andrew Woods Puntos 1579

Sugerencia: Observe que $$\binom{3^n}{k}=\sum_{a+b+c=k}\binom{3^{n-1}}{a}\binom{3^{n-1}}{b}\binom{3^{n-1}}{c}$$summing over all valid ordered triples $(a,b,c)$ de enteros no negativos.

0voto

DanielV Puntos 11606

Buscando en las fracciones de la expansión del coeficiente binomial, puede cancelar factores de 3 en el $(3n+1)^\text{th}$ valor en el numerador con el $(3n)^\text{th}$ valor en el denominador, por ejemplo:

$${3^3 \elegir k} = \begin{array} {c} 27 & 26 & 25 & \color{red}{24} & 23 & 22 & \color{blue}{21} & 20 & 19 & \color{green}{18} & 17 & 16 & \color{orange}{15} & \dots & 27 - (k - 1) \\ \hline 1 & 2 & \color{red}{3} & 4 & 5 & \color{blue}{6} & 7 & 8 & \color{green}{9} & 10 & 11 & \color{orange}{12} & 13 & \dots & k \end{array}$$

Así que usted consigue $\pi_3(\text{Numerator}) - \pi_3(\text{Denominator}) = \pi_3(3^n) - \pi_3(k) > 0$.

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