Deje $X$ ser un complejo espacio de Banach y $A:X\to \mathbb{C}^{n}$ ser un continuo lineal mapa. Si $B_{X} = \{x\in X\,:\, ||x||\leq 1\}$ es una unidad cerrada de la bola en $X$, es cierto que $A(B_{X})$ es compacto en $\mathbb{C}^{n}$? Ya que cada finito rango operador operador compacto, sabemos que el cierre de la $\overline{A(B_{X})}$ es compacto, pero no puedo comprobar que la imagen $A(B_{X})$ sí es compacto, aunque parece cierto.
Respuestas
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Si $X$ no es reflexiva, a continuación, un contraejemplo puede ser formada utilizando James teorema. Desde $X$ no es reflexiva, debe existir un funcional $f \in X^*$ tal que $f$ no alcanza su máxima sobre la bola unidad cerrada. Tomar una funcional, y $f(B_X)$ se convierte en el open de bola de $\mathbb{C}$.
user142385
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Deje $X=c_0$, el espacio de secuencias complejas que convergen a 0 con el sup norma. Definir $f:X \to \mathbb C$ $f(c_n)=\sum \frac {c_n} {n^{2}}$ a Continuación, la imagen de la unidad de la bola de $c_0$ no está cerrado debido a $|\sum \frac {c_n} {n^{2}}| \leq \sum \frac 1 {n^{2}}$ todos los $(c_n)$ en esta bola y $\sup \{ |f(c_n)|:||(c_n)|| \leq 1\} = \sum \frac 1 {n^{2}}$, pero el valor de $\sum \frac 1 {n^{2}}$ no alcanzado (ya que no podemos tener $|c_n| =1$ todos los $n$).
