¿Qué números enteros se pueden escribir como $x^2+2y^2-3z^2\ $?

Question

Para que enteros $n$ tiene la ecuación de diophantine $$x^2+2y^2-3z^2=n$$ soluciones ?

Estos teoremas

https://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems

no se aplican porque el dado forma cuadrática no es positivo (o negativo) definitiva. Parece que la forma cuadrática es universal (para todos los enteros $n$ existe una solución) , pero no tengo idea de cómo esto puede ser demostrado.

Answer 1

Pretendemos que cualquier $n\in\mathbb{Z}$ puede ser escrito como $x^2+2y^2-3z^2$.

Tenga en cuenta que cualquier entero $n$ $0$ o es igual a un $4^a\cdot 2^b\cdot d$ donde $a$ no es entero negativo, $b\in\{0,1\}$ $d$ es una firma de número impar. A continuación, consideramos los siguientes casos.

0) Si $n=0$ a continuación, vamos a $x=0$, $y=0$ y $z=0$.

1) Si $n=d=2k+1$ a continuación, vamos a $x=k+1$, $y=k$ y $z=k$: $$x^2+2y^2-3z^2=(k+1)^2-k^2=2k+1=n.$$

2) Si $n=2d=2(2k+1)$ a continuación, vamos a $x=k$, $y=k+1$ y $z=k$: $$x^2+2y^2-3z^2=2(k+1)^2-2k^2=4k+2=n.$$

3) Si $n=4^ak$ $k$ puede ser escrito como $x_k^2+2y_k^2-3z_k^2$ vamos $x=2^ax_k$, $y=2^ay_k$ y $z=2^az_k$: $$x^2+2y^2-3z^2=4^a(x_k^2+2y_k^2-3z_k^2)=4^ak=n.$$

Answer 2

Los archivos jpeg no salen bien.... en la Moderna Teoría Elemental de los Números por Leonard Eugene Dickson (1939) , en la parte superior de la página 161, la tarea del ejercicio 2 es la siguiente: dado que el $C$ es un número entero positivo, $$ x^2 + 2 y^2 - C z^2 $$ is universal if and only if $C$ is odd and every prime factor of $C$ is $\; \equiv 1 \; \mbox{o} \; 3 \pmod 8$

Dickson y sus estudiantes Ross y Oppenheim encuentra todas universal indefinido ternario cuadráticas formas, recogidos en cuatro tipos (a a $SL_3 \mathbb Z$ equivalencia de formas). Tome $M$ cualquier entero y $N$ cualquier entero impar, no necesariamente positiva en cualquiera de los casos. En los cuatro casos es evidente que son universales, acaba de experimentar un poco con cada uno. En el primero, tome $(x,1,0)$ por ejemplo. $$ xy - M z^2 $$ $$ 2xy - N z^2 $$ $$ 2xy + y^2- N z^2 $$ $$ 2xy + y^2- 2 N z^2 $$ En la cuarta forma, (I) para los números impares $(x,1,0);$ (II) para los números de $2 \pmod 4$ $(x,2,1);$ (III) para los números de $0 \pmod 4$ $(x,2,0).$

Note que no hay $x^2$ plazo en cualquiera de estos, por lo que la forma evaluados en $(1,0,0)$ a $0. \;$ Una parte fundamental de esto es que un universal (ternario) formulario debe no trivialmente representar a $0.$ No es cierto para cuaternarios, como $w^2 - 2 x^2 - 3 y^2 + 6 z^2$

Mientras tanto, su $x^2 + 2 y^2 - 3 z^2$ es equivalente a la cuarta tipo de los mencionados anteriormente, es decir, $2xy+y^2 + 6 z^2.$ cuadráticas formas, tomamos (la mitad) de la matriz Hessiana de la segunda parciales; las formas con matrices de Gram $G,H$ son equivalentes cuando hay un número entero de la matriz $P$ $\det P = 1$ $P^T GP = H.$ Aviso que esto significa $Q = P^{-1}$ es también de enteros con $\det Q = 1,$ mientras $Q^T H Q = G.$ Tengo un programa que me encuentre tales matrices $P.$ formas Equivalentes integralmente representan exactamente los mismos valores.

La primera matriz identidad se lee $$ (x+y)^2 + 2 (x+3z)^2 - 3(x+2z)^2 = 2xy+y^2 + 6 z^2 $$ $$ $$ $$ \left( \begin{array}{ccc} 1&1&1 \\ 1&0&0 \\ 0&3&2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&-3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 1&0&3 \\ 1&0&2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&6 \\ \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ -2&2&1 \\ 3&-3&-1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0&-2&3 \\ 1&2&-3 \\ 0&1&-1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&-3 \\ \end{array} \right) $$ Para la segunda matriz identidad, tome $u = -2y+3z, \; v = x + 2 y - 3 z, \; w = y - z, \;$ dando $$ 2uv+v^2 + 6 w^2 = x^2 + 2 y^2 - 3 z^2 $$

Answer 3

Representación de un número que se escribe.

$$aX^2+bY^2=cZ^2+q$$

Creo que la única manera de grabar el deseado polinomio es el uso de las soluciones de cualquier ecuación.

$$ax^2+by^2=cz^2$$

Conocer las soluciones de esta ecuación y sustituyendo en el lineal de la ecuación de Diophantine.

$$axs+byp-czk=1$$

$(s;p;k) - $ variables que son soluciones de esta ecuación. Entonces la solución de la primera ecuación se puede escribir como.

$$X=\frac{x}{2}(ck^2-as^2-bp^2+q)+s$$

$$Y=\frac{y}{2}(ck^2-as^2-bp^2+q)+p$$

$$Z=\frac{z}{2}(ck^2-as^2-bp^2+q)+k$$