La intersección de conjuntos compactos es compacta "por cobertura abierta"

Question

Dejemos que $K_i, i\in I$ conjuntos compactos en un espacio de Hausdorff $X$ y $K=\bigcap_{i\in I} K_i$ y $\Omega_i,i\in I$ una familia de conjuntos abiertos tal que $$K\subset \bigcup_{i\in I}\Omega_i$$

¿Cómo encontrar una subcubierta finita?

Gracias

Answer 1

No estoy seguro de si hay una forma directa de encontrarlo. Pero puedes (asumiendo que tu espacio es Hausdorff) decir que $\bigcap_{i\in I}K$ es un subconjunto cerrado de $K_i$ (para algunos $i\in I$ elegido por usted) y que los subconjuntos cerrados de los espacios compactos son compactos.

Answer 2

Si se separa el espacio, entonces $K_1$ está cubierto por $U_i$ y $X-\cap K_i$ , toma la cubierta finita inducida.

Answer 3

Dado que $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ cubre $K$ , uno tiene \begin {align*} X= (X \setminus K) \cup\bigcup_ {i \in I} \Omega_i.\tag { $\star$ } \end {align*} Toma tu índice favorito $i^*\in I$ . Se deduce de ( $\star$ ) que $$K_{i^*}\subseteq (X\setminus K)\cup\bigcup_{i\in I}\Omega_i,$$ para que $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ y $X\setminus K$ juntos forman una cubierta abierta de $K_{i^*}$ (la suposición extra de que $X$ es Hausdorff garantiza que cada uno de $\{K_i\}_{i\in I}$ está cerrado, por lo que $X\setminus K$ está abierto, ¿verdad?).

Desde $K_{i^*}$ es compacto, y $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ y $X\setminus K$ juntos forman una cubierta abierta de la misma, debe existir una subcubierta finita, digamos $\Omega_{i_1},\ldots,\Omega_{i_n}$ para algún número entero positivo $n$ y $i_1,\ldots,i_n\in I$ y $X\setminus K$ puede o no estar incluida en esta subcubierta. Se puede suponer que $X\setminus K$ está en esta subcubierta (si no es así, hay que añadir $X\setminus K$ a la subcubierta finita $\{\Omega_{i_1},\ldots,\Omega_{i_n}\}$ seguiría dando lugar a una subcubierta finita), por lo que $$K_{i^*}\subseteq(X\setminus K)\cup\Omega_{i_1}\cup\cdots\cup\Omega_{i_n}.$$

Ahora, $K$ es un subconjunto de $K_{i^*}$ , por lo que también se tiene que $$K\subseteq(X\setminus K)\cup\Omega_{i_1}\cup\cdots\cup\Omega_{i_n}.$$ Desde $X\setminus K$ no tiene ningún elemento común con $K$ se puede quitar de esta cubierta para terminar con $$K\subseteq\Omega_{i_1}\cup\cdots\cup\Omega_{i_n},$$ que es una subcubierta finita de la cubierta original, como se busca.

Nótese que la composición exacta de la subcubierta $\{\Omega_{i_m}\}_{m=1}^n$ puede depender del índice de favoritos $i^*\in I$ (diferentes elecciones pueden dar lugar a diferentes subcubiertas), pero la conclusión de que uno siempre termina con una subcubierta finita sigue siendo válida en todos los casos.