Es el doble de a $C^1[0,1]$ separables?

Question

$C^1[0,1]$ está dotado de la norma $\|f\| = \sup_{t \in [0,1]}|f| + \sup_{t \in [0,1]}|f'| $. Necesito comprobar si su doble $(C^1[0,1])^*$ es separable (espero que no). Estoy pidiendo por la respuesta y la idea de la prueba.

Answer 1

Para $x\in[0,1]$ definir $\lambda_x\in(C^1)^*$$\lambda_x f=f'(x)$.

Si $x\ne y$ usted puede construir las $f$ con $|f|\le1$, $|f'|\le 1$, $f'(x)=1$ y $f'(y)=0$. Por lo tanto $$||\lambda_x-\lambda_y||\ge1/2\quad(x\ne y)...$$