¿Cuál es la intuición detrás de una división exacta de la secuencia?

Question

He aprendido la siguiente definición de una división exacta de la secuencia:

Una breve secuencia exacta de $R$-módulo homomorphisms $0\to A \stackrel{f}{\to} B \stackrel{g}{\to} C \to 0$ se divide, si existe un homomorphism $\alpha:B\to A$ tal que $\alpha\circ f = 1$ o un homomorphism $\beta:C\to B$ tal que $g\circ \beta = 1$.

Nunca puedo recordar si la definición exige $\alpha\circ f = 1$ o $f \circ \alpha = 1$, y lo mismo para la asignación de otros, $\beta$. Sospecho que mi incapacidad para recordar esto surge a partir de un subyacente de la falta de entendimiento de lo que la división exacta de las secuencias se para, lo que es una secuencia que se va a dividir en realidad nos dice acerca de los módulos y morfismos involucrados, y qué concepto de división exacta secuencias están destinados a la captura o generalizar.

Hay una buena manera de recordar las direcciones de la composición de estas definiciones?

¿Qué es la intuición, utilidad y significado subyacente detrás de una división exacta de la secuencia?

Answer 1

La dirección de los mapas de la división es siempre en la dirección opuesta a la de los mapas originales. Así que usted debe pensar de la "separación" como ser capaz de invertir la secuencia para obtener el $0\to C\to B\to A\to 0$. En los términos de la orden, que siempre terminan con los mapas de identidad en la final. Así que a split está a ha $A\to B\to A$ la identidad en $A$, y para tener el $C\to B\to C$ la identidad en $C$. En particular, su ejemplo hubiese $\alpha\circ f=\mathbb{1}_A$.

Intuitivamente, al menos en el finitely generado caso, $B$ es "más grande" de $A$$C$, por lo que no podemos encontrar una inyección de $B$ $A$o un surjection de$C$$B$, por lo que no podemos esperar que los mapas que se compone en el orden inverso para obtener la identidad en $B$.

La forma de pensar de la división es que una división exacta secuencia $0\to A\to B\to C\to 0$ es uno para el cual hay una (posiblemente no canónica) isomorfismo $B\cong A\oplus C$, y para el que $f$ $g$ aspecto "natural" de los mapas en y a partir de una suma directa, es decir, la inclusión y la proyección. Así, la secuencia se ve como $$ 0\\\oplus C\C\a 0. $$ En particular, las secciones que ahora ven como su inclusión en uno de los factores, $c\to (0,c)$, o la proyección en el otro factor, $(a,c)\to a$.

Answer 2

Cuando usted tiene una pequeña secuencia exacta

$$ 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 $$

$B$ canónicamente tiene un submódulo $\mathrm{im}(f) \cong A$ y un cociente módulo de $\mathrm{coim}(f) \cong C$. Cuando la secuencia se divide, en realidad podemos escribir $B$ como una suma directa de estos dos módulos, lo que nos permite descomponer el dado corta secuencia exacta en una suma directa de dos breves secuencias exactas:

$$ \begin{matrix} 0 \to A \xrightarrow{f} &B& \xrightarrow{g} C \to 0 \\ & \cong \\ 0 \to A \xrightarrow{f} &\mathrm{im}(f)& \to0 \to 0 \\ & \oplus \\ 0 \to 0 \to & \mathrm{coim}(g) & \xrightarrow{g} C \to 0 \end{de la matriz}$$

Me imagino que esto es donde el término split viene.

Una división de $\beta$ de la epimorphism $g$ está destinado a ser el monic mapa que expresa cómo $\mathrm{coim}(g)$ se realiza en un submódulo de $B$ en un modo compatible con la $g$. Por lo $g \circ \beta = 1_C$.

De igual manera para la división de $\alpha$ de la monomorphism $f$.

---

Tener un par de morfismos

$$ Y \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} Y $$ con $v \circ u = 1_Y$ es un fenómeno importante va por muchos nombres procedentes de un montón de matemática configuración. Por ejemplo:

• $v$ es una izquierda inversa de a $u$
• $u$ es un derecho inversa de a $v$
• $u$ es una división monomorphism, con $v$ de su división de
• $v$ es una división epimorphism, con $u$ de su división de
• $u$ es una sección de $v$
• Decimos que $Y$ es un retractarse de $X$, dado por la retracción $(u,v)$
• $u \circ v$ es una división idempotente, con la división dada por $(u,v)$