El Laplaciano es un discreto analógica del Laplaciano $\sum \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}$ en cálculo multivariable, y sirve a un propósito similar: mide hasta qué punto la función se diferencia en un punto a partir de sus valores en puntos cercanos. El Laplaciano aparece en el análisis de paseo aleatorio y redes eléctricas en un gráfico (el estándar de referencia que aquí se Doyle y Snell), y así no es de extrañar que codifica algunas de sus propiedades estructurales: como he descrito en este blog, puede ser utilizado para establecer los tres ecuaciones diferenciales en una gráfica (la ecuación de onda, la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger).
(Para ser totalmente claro, cuando usted está usando esta interpretación se debe pensar en el Laplaciano, no como una matriz, sino como un operador que actúa sobre las funciones de $f : V \to \mathbb{R}$. En esta configuración hay un distinto concepto de gradiente (que envía una función de $f$ a una función $\text{grad } f : E \to \mathbb{R}$) y un discreto noción de divergencia (que envía una función de $g : E \to \mathbb{R}$ a una función $\text{div } g : V \to \mathbb{R}$), y la divergencia del gradiente es el Laplaciano, igual que en el infinitary caso. Así que el Laplaciano define una cierta analogía entre las gráficas y los colectores de Riemann.)
La forma cuadrática definida por el Laplaciano aparece, por ejemplo, como la potencia de funcionamiento a través de un circuito con tensiones en cada punto y la unidad de las resistencias en cada borde. Es el discreto análogo de la Dirichlet energía.
El Laplaciano aparece en la matriz de árbol teorema: el determinante de la Laplaciano (con un poco retirado) cuenta el número de árboles de expansión. Esto está relacionado con su aparición en el estudio de las redes eléctricas y es todavía totalmente un misterio para mí. El grupo $\mathbb{Z}^n / L$ donde $L$ es el Laplaciano tiene rango $1$, y su torsión subgrupo es el grupo crítico de la gráfica, que tiene el número de árboles de expansión. El grupo crítico aparece en la descripción de chip de disparo de los juegos en el gráfico (otro nombre para esto es el abelian sandpile modelo), y es una interesante invariante de gráficos.
Hay alguna evidencia de que los grafos finitos son análogas a las curvas sobre campos finitos, y en esta analogía, el grupo crítico parece ser análogo al de los ideales del grupo de clase (es decir, el Jacobiano). Su tamaño incluso aparece en un número de clase de la fórmula para los gráficos procedentes de la Ihara función zeta (el análogo de la Dedekind zeta función). De nuevo, todo esto es totalmente un misterio para mí.
Aquí es un buen encuesta papel por Mohar en lo gráfico teóricos de la realidad el uso del Laplaciano. En la literatura existen diferentes normalizaciones; corresponden a cualquiera, utilizando una base adecuada para el espacio de las funciones de $f : V \to \mathbb{R}$ o variación de las propiedades físicas de la gráfica (por ejemplo, cambiando las resistencias, la adición de una potencial).
