Toda la materia se deriva de que , por real $r$, la expresión
$$
\left( {1 + x} \right)^{\r} = \sum\limits_{0\, \le \,k} {
\binom{r}{k}
x^{\,k} } = \sum\limits_{0\, \le \,k} {{{r^{\,\underline {\k\,} } } \over {k!}}x^{\,k} } \quad \left| {\;r \in \mathbb R} \right.
$$
(donde nos indican con $r^{\,\underline {\,k\,} }$$r^{\,\overline {\,k\,} }$, respectivamente, de la Caída y el levantamiento de Factorial)
- converge absolutamente , por lo $r$ si $|x|<1$;
- para $x=1$ , converge para $-1<r$;
- para $0 \le r \in \mathbb Z$ la suma es finita, y por lo tanto converge absolutamente, por lo $x$.
re. para este artículo en la Wikipedia.
Nota en el hecho de que si $r$ no es un entero no negativo, la suma contendrá un número infinito de términos con signo alternado.
Sabemos que se nos permite a la deriva en el interior de la suma de algunos manipulación algebraica (tomando el límite)
si la suma converge absolutamente, mientras que si la suma es sólo convergente, entonces la convergencia puede estar comprometida.
Por lo tanto, vamos a proceder con cautela
Para $|x|<1$ podemos escribir
$$
\eqalign{
& {{\left( {1 + x} \right)^{\r} - 1} \over r} = \sum\limits_{1\, \le \,k} {{{r^{\,\underline {\k\,} } } \over {r\,k!}}x^{\,k} }
= \sum\limits_{0\, \le \,k} {{{r^{\,\underline {\,k + 1\,} } } \over {i\,\left( {k + 1} \right)!}}x^{\,k + 1} } = \cr
& = \sum\limits_{0\, \le \,k} {{{\left( {i - 1} \right)^{\,\underline {\k\,} } } \over {\left( {k + 1} \right)!}}x^{\,k + 1} }
= x\sum\limits_{0\, \le \,k} {{1 \over {k + 1}}{{\left( {i - 1} \right)^{\,\underline {\k\,} } } \over {k!}}x^{\,k} } = \int_0^x {\left( {1 + t} \right)^{\,r - 1} dt} \cr}
$$
y la integral indica que, para $r$ aproxima $0$, estamos corriendo por el borde
$$
\int {t^{\,r - 1} dt} = {1 \over r}t^{\r} \quad \int {t^{\, - 1} dt} = \ln (t)
$$
Al mismo tiempo, la integral es bien definidos para$x \to 1^{-}$$r \to 0$.
Así
$$
\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{r\; \a \,0} {{\left( {1 + x} \right)^{\r} - 1} \over r}
= \ln \left( {1 + x} \right) = \sum\limits_{0\, \le \,k} {{{\left( { - 1} \right)^{\,\underline {\k\,} } } \over {\left( {k + 1} \right)!}}x^{\,k + 1} } = \cr
& = \sum\limits_{0\, \le \,k} {\left( { - 1} \right)^{\,k} {{1^{\,\overline {\k\,} } } \over {\left( {k + 1} \right)!}}x^{\,k + 1} }
= \sum\limits_{0\, \le \,k} {\left( { - 1} \right)^{\,k} {{k!} \over {\left( {k + 1} \right)!}}x^{\,k + 1} } = \cr
& = \sum\limits_{0\, \le \,k} {{{\left( { - 1} \right)^{\,k} } \over {\left( {k + 1} \right)}}x^{\,k + 1} } \cr}
$$
cual es la conocida serie de Mercator, y conocido por ser convergente
para $-1<x \le 1$.
Nota: anteriormente hemos hecho uso de el hecho de que, para cualquier entero $k$ y reales (o complejos) $s$ hemos
$$
\eqalign{
& \left ( {s} \right)^{\,\underline {\k\,} } = \left ( {s} \right)\left( { - s - 1} \right) \cdots \left( { - s - \left( {k - 1} \right)} \right) = \cr
& = \left( { - 1} \right)^{\,k}\left( {s + 1} \right) \cdots \left( {s + \left( {k - 1} \right)} \right) = \left( { - 1} \right)^{\,k}^{\,\overline {\k\,} } \cr}
$$
Así que podemos tomar el límite de $x \to 1^{-}$, y obtener
$$
\mathop {\lim }\limits_{x\; \a \,1^{\, - } } \ln \left( {1 + x} \right) = \ln 2 = \sum\limits_{0\, \le \,k} {{{\left( { - 1} \right)^{\,k} } \over {\left( {k + 1} \right)}}}
$$
Hay un montón de puestos de la presente se ocupan de esta suma, sino que se refieren en particular a este post para entender cómo "delicado" es: no se puede reorganizar los términos (por ejemplo).
