¿Hay una manera de editar una MT en MateCat?

Question

Esto es algo de una pregunta pedagógica. La mayoría de nosotros hemos arañado la cabeza en algún momento por qué la definición de "$f$ es continuo" que requiere la previade la imagen de cualquier conjunto abierto en $f$ está abierto, a continuación, hacer un montón de ejemplos, a continuación, convencido de nosotros mismos. Creo que la confusión viene porque cuando hacemos el primer encuentro de la "continuidad", que generalmente están esperando una declaración acerca de lo $f$ hace a las imágenes de los conjuntos, y se sienten frustrados cuando vemos una declaración acerca de lo $f$ garantías acerca de la preimages de conjuntos.

Creo que podría ser capaz de restaurar esta por el lugar mirando subespacios del espacio topológico y si están conectados de acuerdo a su topología de subespacio. Vamos a llamar a un subconjunto de un espacio topológico que está conectado de acuerdo a su topología de subespacio de un "conectado subconjunto". La conectividad es inherentemente una noción negativa ("no existen dos conjuntos de...") y por lo tanto uno es naturalmente inducidos a buscar en un contrapositivo-en imágenes en lugar de preimages.

Así que creo que puede ser una manera de empezar de una manera más intuitiva de definición, por ejemplo: "$f: X \to Y$ es continua iff $X$ $Y$ son espacios topológicos y de la imagen de cualquier conectados subconjunto de $X$ está conectado a un subconjunto de a $Y$." Esto parecería inmediatamente intuitiva para un estudiante, me siento. Y si partimos de ahí, entonces inmediatamente el contrapositivo logra la reversión: "$f: X \to Y$ es continua iff la preimagen de cualquier desconectado subconjunto de $Y$ es una desconectado subconjunto de $X$."

Ahora es claro que esto último es necesario para $f$ a ser continua, de acuerdo a la definición convencional. Si $f$ es convencionalmente continua, a continuación, cuando nos factor desconectado subconjunto de $Y$ en dos distintos subconjuntos abiertos, la preimagen de cada subconjunto abierto y la preimages de dos conjuntos disjuntos también debe ser distinto, demostrando que el subconjunto de $X$ fue desconectado, también.

Sin embargo, estoy luchando con rigor demostrar suficiencia y por lo tanto se derivan de la definición convencional de la intuitiva. Los cuantificadores existencial de desconexión parecen realmente ponerse en mi camino: por ejemplo, incluso si de alguna manera podría el estado "para cada conjunto abierto no vacío existe algún otro disjuntos no vacíos conjunto abierto" (lo cual es falso para la topología trivial, pero tal vez eso no es un problema) la definición anterior aparentemente no garantiza que el correspondiente preimages de los dos están abiertos, tal vez de esta partición de la $Y$-subconjunto tiene muy poco que ver con la partición de la $X$-subconjunto, por ejemplo. Así que no me queda claro cómo empujar más allá de estas extrañas existentials y llegar a "la preimagen de cualquier conjunto abierto es abrir" de nuevo.

1. Me estoy perdiendo algunas obvio contraejemplo que muestre que el conjunto de esta empresa es un error, o aclara algo más de los supuestos voy a tener en mi definición para que funcione?

2. Si no, ¿qué técnica que yo uso para finalizar la suficiencia de los laterales de la prueba?

Answer 1

La respuesta corta es que hay funciones que no son convencionalmente continua, sino que están conectados-set-contininuous.

Por ejemplo, uno puede usar cualquier $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ con la siguiente propiedad:

Si $X:=(a,b)$ es no-vacío intervalo abierto, a continuación,$f(X) =\mathbb{R}$.

Un ejemplo de una $f$ es de Conway de la base 13 de la función.

Tal función puede ser continua porque es ilimitado en todos los no-trivial intervalo cerrado (porque no trivial intervalo cerrado no trivial intervalo abierto como un subconjunto).

Por otro lado, el conectado subconjuntos de a $\mathbb{R}$ son los puntos o son los intervalos (con o sin algunos de los puntos finales). Por supuesto, la imagen de un punto es conectado. La imagen de un intervalo en el que también está conectado: cada intervalo tiene un abrir subinterval, y, a continuación, $f$ aplicado al abrir subinterval es que ya todos los de $\mathbb{R}$, que está conectado.

Answer 2

Para un contraejemplo, considere la posibilidad de

$$ \begin{array}{l} f : \mathbb R \to \mathbb R \\ f(x) = \begin{cases} \sin(1/x) & \mbox{if } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{casos} \end{array} $$ que no es continua en a $0$.

A pesar de eso, podemos ver que $f$ está conectado-set-continuo, que es: si $X \subseteq \mathbb R$ es un conjunto conectado (es decir, un intervalo), entonces la imagen de a $f(X)$ está conectado (en un intervalo).

De hecho, si $0\not\in X$, $f$ es continua en a $X$ y por el teorema del valor intermedio $f(X)$ es un intervalo.

Si $X=\{0\}$ $f(X)=\{0\}$ que está conectado (un degenerado intervalo).

De lo contrario, $X$ contiene $[0,\epsilon)$ o $(-\epsilon,0]$ algunos $\epsilon>0$, por lo tanto $f(X)=[-1,+1]$.