Evaluar$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \ n}{ n } $ usando la serie fourier

Question

Soy un principiante con series de Fourier y tengo que evaluar la suma

ps

No sé qué función debo tomar para evaluar la serie de Fourier ... ¿Alguien puede darme una pista?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{\sum_{n = 1}^{\infty}{\sin\pars{n} \over n} = \half\pars{\,\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\sin\pars{n} \over n} - 1}.\quad}$ $\large\tt details$ más de aquí .

\begin{align} \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\sin\pars{n} \over n}&= \int_{-\infty}^{\infty}{\sin{x} \over x}\sum_{n = -\infty}^{\infty}\expo{2n\pi x\ic} \,\dd x = \int_{-\infty}^{\infty}\half\int_{-1}^{1}\expo{\ic kx}\,\dd k \sum_{n = -\infty}^{\infty}\expo{-2n\pi x\ic}\,\dd x \\[3mm]&= \pi\sum_{n = -\infty}^{\infty}\int_{-1}^{1}\dd k \int_{-\infty}^{\infty}\expo{\ic\pars{k - 2n\pi}x}\,{\dd x \over 2\pi} = \pi\sum_{n = -\infty}^{\infty}\int_{-1}^{1}\delta\pars{k - 2n\pi}\,\dd k \\[3mm]&= \pi\sum_{n = -\infty}^{\infty}\Theta\pars{{1 \over 2\pi} - \verts{n}} = \pi\,\Theta\pars{1 \over 2\pi} = \pi \end{align}

A continuación, $$\color{#0000ff}{\large% \sum_{n = 1}^{\infty}{\sin\pars{n} \over n} = \media\pars{\pi - 1}} $$

Answer 2

¿Cuál es la función que tiene sus coeficientes de fourier?$A_n=0$ Y$B_n = \frac{1}{n}$, es decir, $$ f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} \ sin (nx) $$

Una vez que haya descubierto$f(x)$, encuentre$f(1)$.

Por cierto,$f(x)$ es una función "estándar" en el análisis de ingeniería.

Answer 3

Por cierto, tenga en cuenta que$\frac{\sin n}{n}$ es exactamente el n-ésimo coeficiente de Fourier de la función $ \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} \ chi _ {[- 1,1]} (x). $ Como$\chi_{[-1,1]}(x)$ tiene compatibilidad compacta, se puede usar la fórmula de Poisson: $$ \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} \ widehat {\ chi _ {[- 1,1]}} (n) = \ sqrt {2 \ pi} \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} \ chi _ {[- 1,1]} (2 \ pi n) = \ sqrt {2 \ pi}, $$ y get $ $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} \ frac {\ sen n} {n} = \ pi. $$

Answer 4

Sugerencia: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (n)}{n}= \text{Im }\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in}}{n}=\text{Im } \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 x^{n-1} \mathrm{d} x \bigg|_{x=e^i}=\text{Im } \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{1-x} \bigg|_{x=e^i}=\text{Im Log }(1-e^i) $ $