¿Qué es una medida aleatoria?

Question

¿Qué es una medida aleatoria?

El Artículo de Wikipedia es bastante confuso y se utiliza para formular sólo un medida de conteo aleatorio en lugar de sólo el medida aleatoria . Estoy trabajando en el proceso de Dirichlet y con los artículos más profundos comienzan con la noción de una medida aleatoria, pero no se da mucha intuición. ¿Hay quizás múltiples definiciones?

Por lo que entiendo es un mapa de un espacio de probabilidad $( \Omega , \mathbb {F}, \mathbb {P})$ a un espacio medible $(S, \Sigma )$ como un $(S, \Sigma )$ - una variable aleatoria valorada.

La diferencia es que es un específico $(S, \Sigma )$ -variable aleatoria valorada, es decir, una que es set de lo normal ( $ \mathbb {R}$ - variables aleatorias.

¿Esto es correcto? ¿Hay algunos buenos ejemplos de diferentes tipos de medidas aleatorias ?

Answer 1

Como dices, una medida aleatoria es una medida-valorada RV. Para ello se necesita una estructura de álgebra sigma en el espacio de medidas. A menudo, las medidas se definirán en un espacio métrico separable, y podrás utilizar la topología de Prokhorov.

Una comprensión "equivalente" (es decir, "naturalmente identificada") de las medidas aleatorias en el caso mencionado anteriormente es decir lo siguiente: $\alpha: \Omega\times\Sigma\rightarrow [0, 1]$ es una medida aleatoria si al fijar la coordenada izquierda siempre se obtiene una medida de probabilidad, y al fijar la coordenada derecha siempre un mapa medible. (Véase, por ejemplo, el capítulo 17 de la Teoría Descriptiva Clásica de Conjuntos de Kechris)

Las medidas aleatorias se utilizan cuando se habla de distribuciones condicionales regulares y de intercambiabilidad.