Convergencia de$\int_0^\infty \frac{dx}{1+ (x^\alpha \sin x)^2}$

Question

Estoy interesado de saber que $\alpha \in \mathbb{R}$ la siguiente integral converge: $$\int_0^\infty \frac{dx}{1+ (x^\alpha \sin x)^2}.$$

En las respuestas a este post se ha demostrado que la integral diverge para $\alpha=1$ (y puede ser de forma similar se muestra que la integral diverge para cualquier $\alpha \leq 1$. Después de esta pregunta, empecé a preguntarme para que $\alpha$ la integral converge. Tenga en cuenta que los métodos utilizados para responder en el caso de $\alpha=1$ no funcionan como lo vinculado a la integral de abajo, con una divergentes de la serie, mientras que para mostrar la convergencia necesitamos enlazado desde arriba.

Answer 1

Claramente diverge $\alpha \leq 0$. Ahora que $\alpha > 0$ y $n = 1, 2, \cdots$. Para cada % de la satisfacción de la $x$ $|x - n\pi| \leq \pi / 2$tenemos $$ c_1 n^{\alpha} |x - n \pi| \leq x^{\alpha} |\sin x| \leq c_2 n^{\alpha} |x - n\pi|,$ $ donde $c_1$ y $c2$ son una constantes positivas dependiendo sólo de $\alpha$. Esto es porque tal $$ \frac{2}{\pi}|x - n\pi| \leq |\sin x| \leq |x - n\pi|$ $$\frac{\pi}{2} n \leq \left( 1 - \frac{1}{2n}\right) \pi n \leq x \leq \left( 1 + \frac{1}{2n}\right) \pi n \leq \frac{3\pi}{2} n $ $ y $x$ $. Así tenemos $$ \sum{n=1}^{\infty} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + (c2 n^{\alpha} x)^2} \leq \int{\pi/2}^{\infty} \frac{dx}{1 + (x^{\alpha} \sin x)^2} \leq \sum{n=1}^{\infty} \int{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + (c_1 n^{\alpha} x)^2},$ $ y por el simple cambio de variable da $$ \frac{1}{c2} \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \int_{-c_2 \pi n^{\alpha} /2}^{c2 \pi n^{\alpha}/2} \frac{dt}{1 + t^2} \leq \int{\pi/2}^{\infty} \frac{dx}{1 + (x^{\alpha} \sin x)^2} \leq \frac{1}{c1} \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \int_{-c_1 \pi n^{\alpha} /2}^{c1 \pi n^{\alpha}/2} \frac{dt}{1 + t^2}.$ $ desde $$ \int{-c_2 \pi /2}^{c2 \pi /2} \frac{dt}{1 + t^2} \leq \int{-c_2 \pi n^{\alpha} /2}^{c2 \pi n^{\alpha}/2} \frac{dt}{1 + t^2} \qquad \text{and} \qquad \int{-c_1 \pi n^{\alpha} /2}^{c1 \pi n^{\alpha}/2} \frac{dt}{1 + t^2} \leq \int{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{1 + t^2}, $ $ esto implica $$c3 \zeta(\alpha) \leq \int{\pi/2}^{\infty} \frac{dx}{1 + (x^{\alpha} \sin x)^2} \leq c_4 \zeta(\alpha) $ $ constantes positivas $c_3$ y $c_4$ dependiendo solamente en $\alpha$. Por lo tanto, la integral converge si y sólo si $\alpha > 1$.