Datos sobre los polinomios

Question

Supongamos que $Q_1,..., Q_n$ son polinomios en $x_1,x_2,...,x_{2n-1}, x_{2n}$ tal que $$\tag{1}Q_1 x_1+Q_2 x_3+\cdots_+Q_n x_{2n-1}=0,\\ Q_1 x_2+Q_2 x_4+\cdots_+Q_n x_{2n}=0.$$ Me pregunto si siempre es cierto que todos $Q_1, \cdots, Q_{n}$ desaparece.

Es fácil demostrar el caso cuando $n=1$ . Así que quiero demostrarlo utilizando la inducción, pero estoy atascado.

Editar: Puedo resolver el caso para $n=1,2$ . Para $n=1$ , $(1)$ implica que $Q_1x_1=0$ y $Q_1x_2=0$ lo que implica que $Q_1=0$ . Para $n=2$ , $(1)$ implica que $$Q_1x_1+Q_2x_3=0\mbox{ and }Q_1x_2+Q_2x_4=0.\tag{2}$$ Como ha señalado XTL, hay que multiplicar la primera ecuación por $x_2$ y multiplicar la segunda ecuación por $x_1$ y tomamos la diferencia, obtenemos $Q_2(x_2x_3-x_1x_4)=0$ lo que implica que $Q_2=0$ . Vuelve a ponerlo en $(2)$ obtenemos $Q_1=0$ .

Answer 1

¿Por qué sería eso cierto? Por ejemplo $n\ge 3$ et $Q_3=\ldots = Q_n=1$ . Entonces se puede resolver para $Q_1$ y $Q_2$ en el sistema (regla de Cramer) para obtenerlas como fracciones racionales. Ahora multiplica todas las $Q_i$ por un denominador común.