¿Por qué esta forma de resolver las desigualdades trabajo?

Question

Aquí es lo que yo tenía que probar.

Pregunta: Para los positivos reales $a$ $b$ demostrar que $a^2+b^2 \geq 2ab$.

Aquí es cómo mi maestro hizo:

La primera asume que es en realidad, la verdadera que $a^2+b^2 \geq 2ab$. Por lo tanto,$a^2+b^2-2ab \geq 0$ . Tenemos $(a-b)^2$ es mayor que o igual a cero, lo cual es cierto. Por lo tanto lo que se supone que originalmente es cierto.

¿Por qué este método de trabajo?

No puedo entender cómo se puede asumir que es cierto y, a continuación, probar que es.

Answer 1

Como los escritos de su maestro la prueba es incorrecta. La forma correcta de escribir su profesor en la prueba sería escribir $$a^2+b^2 \geq 2ab\iff a^2+b^2-2ab \geq 0\iff(a-b)^2\geq 0$$ donde cada una de las afirmaciones son equivalentes entre sí. La última afirmación es verdadera, por lo tanto también lo es la primera. Es mucho más limpio a la escritura de la prueba en la dirección inversa, es decir, $$(a-b)^2\geq 0\implies a^2+b^2-2ab \geq 0\implies a^2+b^2 \geq 2ab$ $

Answer 2

Su maestro es incorrecta. Con el fin de demostrar que algo es verdadero, usted no asuma que la primera. Aquí es correcta, de manera lógica.

Deje $a$ $b$ ser números reales. A continuación, $(a-b)^{2}\geq 0$. Por lo tanto, $a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0$, y por lo tanto, $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$.

Answer 3

Si el profesor redactado exactamente como lo has hecho, entonces él es absolutamente incorrecto.

Sin embargo, hay una prueba técnica que sigue una estructura similar, y es correcto, lo que podría haber sido lo que el maestro iba. Estoy hablando de tener la inferencia dirección opuesta a la dirección de escritura.

Generalmente una prueba comienza con algo que es cierto, hace una deducción a partir de ella, y continúa hasta llegar a su resultado: $a \Rightarrow b \Rightarrow c \Rightarrow d$.

En su lugar, usted puede comenzar con lo que se quiere demostrar, pero en lugar de mostrar lo que sigue de esto, mostrar lo que se sigue de: $d \Leftarrow c \Leftarrow b \Leftarrow a$. Si usted termina para arriba con algo verdadero, entonces su reclamación original es cierto.

Esto es lo que su maestro estaba tratando de hacer: $a^2+b^2\ge 2ab \Leftarrow a^2+b^2-2ab \ge 0 \Leftarrow (a-b)^2 \ge 0$. La última afirmación es verdadera, por lo que este completa la prueba.

Parte de la confusión puede surgir del hecho de que en este caso, todas estas inferencias son reversibles - es cierto que $a^2+b^2\ge 2ab \Leftarrow a^2+b^2-2ab \ge 0$, pero también es cierto que $a^2+b^2\ge 2ab \Rightarrow a^2+b^2-2ab \ge 0$. Pero es sólo la primera de estas inferencias que es relevante para la prueba. Y por supuesto, en otras pruebas que usted podría utilizar inferencias que no son reversibles.

Esta técnica es, lógicamente, el mismo que el habitual método, pero es muy útil cuando usted no sabe qué premisa para iniciar desde; en su lugar, tome lo que quiero probar, y averiguar lo que usted necesita en orden para que sea verdadera.

Answer 4

Mi representante es demasiado baja para comentar, pero otros están en lo correcto en decir que esto funciona porque cada instrucción es una relación de equivalencia. Si el maestro quiere demostrar algo partiendo de una hipótesis, es mejor asumir el contrario: $a^2+b^2<2ab$, entonces el trabajo a través de los mismos pasos para llegar a $(a-b)^2<0$ lo cual es una contradicción si $a$ $b$ son reales. Que demuestre $a^2+b^2 \geq 2ab$ por la contradicción.

Answer 5

Usted puede, en realidad, no. Deberías empezar con $(a-b)^2 \geq 0$ y el espectáculo que $a^2+b^2 \geq 2ab$, no al revés.