Confusión sobre$a_k = (1+\frac{1}{k})^k = e$

Question

Actualmente estoy viendo una conferencia de MIT sobre diferenciar las imágenes y los registros, y menciona que$a_k = (1+\frac{1}{k})^k = e.$

He visto la prueba y "entiendo" que$\lim_{k \to \infty} \ln(a_k) = 1$ s0 el límite de$a_k = e$.

El problema es cuando leo$e = \lim_{k \to \infty} (1+\frac{1}{k})^k$, parece que dice$e = 1$ porque lo leí como$e = (1+(0))^\infty = 1$, y me está costando trabajo averiguar dónde está la confusión.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que$\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^k$ es un límite de la forma indeterminada$1^\infty$. Si$k=100$, luego$1+\frac1k =1.01$ y$1.01^{100}\approx 2.70481382942153$.

Como se menciona en el OP, podemos explotar la continuidad de la función exponencial y escribir

ps

Luego, recordando que$$\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^k=\lim_{k\to\infty}e^{\log\left(1+\frac1k\right)^k}=e^{\lim_{k\to\infty}\log\left(1+\frac1k\right)^k}=e^{\lim_{k\to\infty}k\log\left(1+\frac1k\right)}\tag 1$, llegamos al resultado anticipado.

Tenga en cuenta que en$\frac{1}{k+1}\le\log\left(1+\frac1k\right)\le \frac1k$, transformamos la forma indeterminada$(1)$ en la forma indeterminada$1^\infty$.