Esto se ha hecho demasiado largo para un comentario, pero pretende ser un comentario extenso. No soy el más indicado para decir que me interesa sobre todo desde una perspectiva estructural/matemática. Perdóname si no te digo nada nuevo.
Definitivamente se puede hacer TQFT dentro de los límites de las matemáticas puras. Si lo que quieres es el modelo estándar harás bien en entender tu teoría de la representación, ya que los tipos de partículas corresponden a representaciones fundamentales de grupos de Lie (U(1)xSU(2)xSU(3) en el modelo estándar, veces el grupo de Poincaré si haces el análisis). A partir de ahí, un campo cuántico es una sección de un haz vectorial asociado a la representación sobre el espacio-tiempo que satisface un principio variacional (un extremo de una acción) que implica conexiones convenientemente equivariantes (que por cierto son tus bosones). Faria-Melo desarrolla esto y de hecho expone el modelo estándar en este marco.
Dejan de lado un análisis claro de cómo las representaciones se vinculan con los tipos de partículas, pero esto lo hacen Báez y Huerta en este texto ( http://math.ucr.edu/~huerta/guts/ ). Básicamente, los elementos de sus representaciones fundamentales son estados de partículas fermiónicas, los generadores de la representación adjunta son bosones que actúan sobre sus fermiones de una manera que puede ser representada por diagramas de Feynmann.
La cuantificación me sigue pareciendo una tontería, pero parece que aquí es donde entran los grupos cuánticos: No se puede deformar un álgebra de Lie semisimple y obtener una deformación razonable de su teoría de la representación (su categoría de representaciones). Sin embargo, se puede deformar su álgebra envolvente universal (que es un álgebra de Hopf, es decir, un objeto con un producto y un coproducto que interactúan favorablemente). Ahora mismo hay una clase magistral sobre este tema que habla de esto con el propósito de estudiar invariantes de 3manifolds usando teorías de campo tridimensionales. En su página web se pueden encontrar notas sobre los grupos cuánticos: http://www.math.ku.dk/english/research/conferences/2014/tqft/ Por cierto, también tienen un curso intensivo de álgebras de operadores, que es parte de la teoría que permite tratar razonablemente las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré.
Cómo se relaciona el punto de vista del functor en las teorías de campo con el "clásico" desarrollado en Faria-Melo me resulta un poco confuso, pero sospecho que puede encontrar algunas respuestas en el artículo de Segal sobre teorías de campo conformes ( http://www.math.upenn.edu/~blockj/scfts/segal.pdf -- un escaneo bastante mierdoso pero lo encontrarás en su cosa del 60º día de nacimiento).
Por supuesto, esto deja de lado los aspectos computacionales del tipo que los físicos podrían contarte, y nunca me he acercado lo suficiente a lo que hacen los físicos como para querer renormalizar algo (algo que aparentemente necesitas hacer debido a que las partículas que interactúan entre sí producen integrales divergentes). Esta es definitivamente una parte bastante grande de la QFT que te estarás perdiendo si no estudias también el enfoque de los físicos.
Parece que la gran idea unificadora en cualquier caso es que un sistema físico debe ser invariante bajo la elección de la presentación (gauge) hasta un grupo o automorfismos (transformación gauge) y que esto es cierto para los sistemas clásicos (invariancia de Lorentz o Poincaré del espacio o del espacio-tiempo) así como para los sistemas cuánticos (otros grupos de Lie que actúan sobre un haz vectorial de estados) y que toda la física es más o menos cae como propiedades de cosas con las simetrías correctas. Esto parece ser lo que los físicos y los matemáticos están de acuerdo en cualquier caso, así que no te puedes equivocar estudiando las representaciones.
Aparte de Faria-Melo aquí hay algunas notas que me gusta mirar:
Estas notas son bastante explícitas sobre el tipo de matemáticas que utilizan math.lsa.umich.edu/~idolga/physicsbook.pdf
Estos apuntes sobre los grupos de Lie y la teoría de la representación son muy buenos. staff.science.uu.nl/~ban00101/lie2012/lie2010.pdf Vienen acompañados de vídeos. webmovies.science.uu.nl/WISM414
