¿Dónde, en geometría, se introduce la noción de "longitud de camino de una curva"?

Question

Esta pregunta está inspirada en una pregunta (ahora cerrado) demostrar que una ruta de entrar y salir de un círculo que se cruza todos los diámetros del círculo, deben tener una longitud de al menos tan grande como la de un diámetro. La pregunta fue hecha en el contexto de la neutralidad de la geometría, y comencé a pensar en él, y se dio cuenta de que no sé, y un nivel de definición, lo que "curva" y "longitud de ruta de acceso" significa, en la neutral de la geometría.

Entonces me di cuenta de que no sé lo que estos conceptos significan que incluso en la geometría Euclidiana. Por supuesto, una curva puede ser descrito como un lugar geométrico de puntos que tienen algún tipo de propiedad (por ejemplo, un círculo o una elipse) y en los casos en que los puntos de una curva de tener algunos naturales de pedido, la longitud de ruta de acceso puede ser definido en un cálculo-como la forma de, (un litiásica manera?) en términos de la suma de las longitudes de los pequeños segmentos de línea. (Creo que Arquímedes estimación de la circunferencia de un círculo).

Pero cuando tengo que demostrar algo sobre un genérico de la curva (incluso un genérico curva continua) yo no tengo ninguna definición general para empezar. Pero esto debe ser un bien estudiado la materia.

En el contexto de la pregunta que se ha formulado, sospecho que va a una definición que implica abrir conjuntos y así sucesivamente sería mucho más allá de la pálida; pero si que es donde uno tiene que ir, que así sea.

Answer 1

Esta es la definición de la longitud de una curva en un espacio métrico general$(X,d)$. Defina una partición de$[0,1]$ para que sea un conjunto finito$\{t_0,...,t_n\}$ para que$t_0=0$ y$t_n=1$ y$t_i>t_{i-1}$. Una curva$\gamma:[0,1]\to X$ tiene longitud

$$\ell(\gamma)=\sup\left\{\sum_{i=1}^n d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i-1})):\{t_0,...,t_n\}\text{ a partition of $ [0,1]$}\right\}.$ $

Una curva es rectificable si$\ell(\gamma)<\infty$. No todas las curvas son rectificables. Esta definición se usa frecuentemente cuando se estudian espacios geodésicos generales, donde una curva es geodésica si$d(\gamma(0),\gamma(1))=\ell(\gamma)$.

Answer 2

No hay mucho lugar para la continuidad en la axiomática de Hilbert acercamiento a la geometría del plano. He publicado algo y tienes que saber Marvin Greenberg como resultado. Mi pequeño artículo fue mucho desde el punto de vista del plano Euclidiano y el plano hiperbólico como inusualmente agradable de Riemann colectores. Por lo tanto tuve distancias y tal. Esta era la tradición en la rusia de los artículos estaba citando acerca de 1930-1955, por lo que todo parece sensato para mí.

Usted puede pedir prestado Hartshorne de la Geometríade Euclides y de más Allá y Greenberg Euclidiana y No Euclidiana Geometrías. Estoy en la cuarta edición de este último. De hecho, ver el ARTÍCULO AQUÍ puede descargar el artículo en sí mismo.

Para materiales más cerca del avión real, he utilizado George E. Martin, Los Fundamentos de la Geometría y de la No-Euclidiana del Plano. Muy fuerte en regla y compás construcciones.

Hmmm.... Sólo se volcó por Hartshorne, veo longitudes de los segmentos, posiblemente longitudes de arcos circulares definidas según el ángulo central... Una buena cantidad de trabajo discutiendo área de los polígonos, y recuerdo que unos comentarios acerca de los requisitos mínimos para ser capaz de definir el área de un círculo a todos, algo acerca de un límite de áreas poligonales, de modo que el campo en cuestión no es que lejos de los números reales de todos modos.