Hay gran cardenal propiedades del punto crítico de una $j: L \longrightarrow L$?

Question

Recientemente he estado pensando un poco acerca de la $L$$0 \sharp$.

Como es bien sabido, la existencia de $0 \sharp$ es equivalente a la existencia de un no-trivial de primaria de la incrustación de $j: L \longrightarrow L$.

Mi pregunta, ¿el punto crítico de dicho incrustación tiene grandes propiedades cardinales (por ejemplo, es inaccesible? Mahlo? No puede ser medible, Jonsson, o $\omega_1$-Erdos por Gödel Segundo.)?

Yo diría que no, si $0 \sharp$ existe, entonces hay muchos de los indiscernibles en $L$, muchos de ellos contables. Así que debería ser capaz de simplemente mover bastante pequeño indiscernible como el punto crítico de la incrustación. Sin embargo, yo también soy relativamente nuevo para los detalles aquí, y sensibles al hecho de que mis intuiciones pueden ser poco confiables!

También me gustaría estar interesado en saber si $0 \sharp$ implica la existencia (no sólo la consistencia) de cualquiera de los grandes cardenales en $V$.

Si hay referencias de que hablar de este (aparte de la Jech, Kanamori, y Drake), me encantaría oír acerca de ellos. Gracias por los punteros.

Answer 1

En primer lugar, vamos a aclarar la parte fácil.

Supongamos $0^\#$ existe, entonces podemos trabajar en $L[0^\#]$, donde también existe. Si hay grandes cardenales vamos en ese modelo (débil compacto, inaccesible, incluso a los cardenales) podemos picar el universo en el que el cardenal, que tiene un gran cardenales libre universo donde la $0^\#$ existe bien.

Para la primera pregunta, es el recuerdo de la Plata indiscernibles, que son exactamente los puntos críticos de estas incrustaciones, y prácticamente se puede demostrar que si $\alpha$ es de Plata indiscernible, a continuación,$L\models\alpha\text{ as large as it can be}$.

Por indiscernability basta para demostrar a sólo una indiscernible, por supuesto. Así, por ejemplo, $\omega_1^V$ es regular el cardenal en $L$, y es de Plata indiscernible, por lo que todos los indiscernibles se $L$-regular. Por otro lado, $\omega_\omega$ es un límite cardenal, pero también es imperceptible, por lo que todos los demás indiscernible es un límite cardenal. Por lo tanto, todos ellos son inaccesibles cardenales.

Del mismo modo se puede demostrar que son tan grandes como ellos. Usted puede encontrar más información sobre Jech de la "Teoría de conjuntos", y aún más probable en Kanamori "El Más Infinito".