En uno de Fisher clásico de papel [1] me tropecé con el siguiente:
Si la frecuencia con la que la variable $x$ cae en el rango de $dx$, dado por $$df = \frac{1}{\pi}\frac{dx}{1+(x-m)^2}$$ where $m$ is the unknown parameter representing the centre of the symmetrical frequency curve of $x$, then it is not difficult to show that the arithmetic mean of any number of independent values of $x$, will be distributed in exactly the same distribution as a single value of $x$.
Como Fisher llamó a esto "no es difícil", me gustaría probar la declaración ... pero no puedo :-).
Asumo $\frac{df}{dx}$ representa el pdf $g(\cdot)$ de una variable aleatoria. Si me pongo de Fisher declaración en otras palabras, que dice: si hay dos variables aleatorias $X$$Y$, ambos con pdf $g(\cdot)$, su media también ha $g(\cdot)$ como pdf. Así que supongo que la convolución de $g(\cdot)$ con sí mismo y se divide por dos, lo que representa el pdf de la media debe ser igual a $g(\cdot)$. Sin embargo, cuando trato de calcular la convolución, llego al complejo de integrales que no son en absoluto "no es difícil".
¿Alguien sabe cómo demostrar esto de una forma sencilla?
[1] Fisher, R. A. (1925, Julio). Teoría de la estimación estadística. En Matemática Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge (Vol. 22, Nº 05, pp 700-725). Cambridge University Press.
