Solucionar $y''+y=\cos x$.
Después de la primera solución de la ecuación homogénea sabemos que la solución a es $y=c_1\cos x+c_2\sin x$.
Podemos suponer que la solución privada a la no-homogénea de la ecuación será de la forma: $y_p=x(A_1\cos x+A_2\sin x)$.
Entonces: $$ y_p'=A_1\cos x-A_1x\sin x+A_2\sin x+A_2x\cos x\\ y_p"=-2A_1\sin x-A_1x\cos x+2A_2\cos x-A_2x\sin x $$ Si sustituimos en la ecuación original, se obtiene: $$ \cos x(A_1+A_2x-A_1x+2A_2)+\sin x(A_2-A_1-2A_2-A_2x)=\cos x \quad\ast $$ Podemos tratar de resolver el sistema: $$ \begin{cases} x(A_2-A_1)+A_1+2A_2=1\\ x(-A_1-A_2)+A_2-2A_1=0 \end{casos} $$ Pero hay 3 incógnitas en el sistema, así que no veo cómo encontrar los valores de $A_1$$A_2$.
La solución, dice que obtenemos $2(A_2\cos x-A_1\sin x)=\cos x$ a partir de la cual se desprende que $A_1=0$$A_2=0.5$. Pero ¿cómo podemos llegar a esta conclusión? ¿Hay algún truco que me perdí?
He comprobado mis cálculos en Wolfram Alpha y que coinciden.
Respuestas
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De modo que la correspondiente ecuación auxiliar a$y''+y=\cos x$$m^2+1=0$, lo $$y_c=c_1 \cos x + c_2 \sin x,$$ así que las cosas están bien hasta ahora. Ahora desde nuestra RHS es $\cos x$, como usted dijo, se asume que la solución particular es de la forma $A \sin x+B \cos x$. Pero desde $A\sin x$ es considerado ya en $y_c$, tomamos $Ax \sin x+Bx \cos x$. Por lo tanto,
\begin{cases} y_p=Ax \sin x+Bx \cos x \\ {y_p}'=Ax \cos x+B \cos x-Bx \sin x +A \sin x \\ {y_p}''= -Bx \cos x+2A \cos x-Ax\sin x-2B \sin x \end{casos}
$\implies \left( -Bx \cos x+2A \cos x-Ax\sin x-2B \sin x \right) + \left( Ax \sin x+Bx \cos x \right) = \cos x$
$\implies 2A \cos x - 2B \sin x = \cos x \implies \begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B =0 \end{cases}$
Por lo tanto, nuestra solución de $y=y_c + y_p$ es $$y=c_1 \cos x + c_2 \sin x+\frac{1}{2}x \sin x.$$
Su protagonizó la ecuación no es correcto. Se conecta en los términos de $y'_p$ en lugar de $y_p$. Si el enchufe en la ecuación original, usted debe conseguir $$x(A_1\cos x + A_2 \sin x)-2A_1\sin x-A_1x\cos x+2A_2\cos x-A_2x\sin x=\cos x$$ from which the terms proportional to $x$ cancelar, dejando $$-2A_1 \sin x+2A_2\cos x =\cos x$$ como se desee.
