Encuentre $\lim_{x\to\infty}\frac{f^{-1}(x)}{\ln(x)}$ , donde $f(x)=e^x+x^3-x^2+x$ , sin L'Hospital

Question

Tenemos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=e^x+x^3-x^2+x$ y tenemos que evaluar $$\lim_{x\to\infty}\frac{f^{-1}(x)}{\ln(x)}$$

¿Hay una forma elegante de resolver este problema?

Aquí están todos mis pasos:

• Mi primera idea fue utilizar el teorema del apretón tal que: $$\alpha\leq f^{-1}(x)\leq\beta$$

  $f(\ln(x))=x+\ln^3(x)-\ln^2(x)+ln(x)\ge x\Rightarrow\beta=\ln(x),\forall x>1$

¿Cómo puedo encontrar $\alpha$ tal que $f( ? )\leq x,\forall x\in V$ donde $V\subset\mathbb{R}$ tal que $(\exists)$ un intervalo abierto I tal que $x\in I\subset V$ ?

P.D. : Conozco el método con la regla de L'Hospital y absolutamente es la forma más fácil de resolver mi problema, pero no considero una "forma elegante". Se me olvidó decirlo.

• Lo que quiero demostrar en mi demostración es que $\frac{\alpha}{\ln(x)}\leq\frac{f^{-1}(x)}{\ln(x)}\leq\frac{\beta}{\ln(x)}$ y si vemos el límite superior $\frac{\beta}{\ln(x)}\to 1$ como $x\to\infty$

Así que lo que tengo que hacer es encontrar $\alpha$ tal que $\frac{\alpha}{\ln(x)}\to 1$

Answer 1

Sustituir $x=f(y)$ y observar que $x \to \infty \Leftrightarrow y \to \infty$ . Por lo tanto, su límite es igual a

$$ \lim_{y \to \infty} \frac{f^{-1}(f(y))}{\ln(f(y))}=\lim_{y \to \infty} \frac{y}{\ln(e^y+y^3-y^2+y)}.$$

Answer 2

Sugerencia

Demostrar que $$\lim_{x \to \infty} f^{-1}(x) = \infty$$ y observar que se aplica la regla de L'Hospital. Ahora hay que diferenciar $f^{-1}(x)$ ¿Cómo se hace eso?

Answer 3

Apretar funciona. Para cualquier $\varepsilon>0$ para cualquier $x$ lo suficientemente grande $f(x)$ está entre $e^x$ y $e^{(1+\varepsilon)x}$ .

Eso da que para cualquier $t$ lo suficientemente grande $f^{-1}(e^t)$ está entre $\frac{t}{1+\varepsilon}$ y $t$ por lo que el límite es $\color{red}{1}$ al establecer $x=e^t$ .