Son funciones de la $e^{z^n}$ todos algebraicamente independiente?

Question

Actualmente estoy escribiendo sobre las superficies de Riemann y la algebraica dependencia de cualquiera de los dos meromorphic funciones en una superficie compacta. Estoy tratando de pensar en un ejemplo de cómo este resultado se produce un error por un noncompact de la superficie, y mi corazonada es que la familia $$ e^{z^n}, n = 1,2, ... $$ gives an infinite family of algebraically-independent functions over $\mathbb{C}$, equivalently that all functions $e^{P(z)}$ are linearly independent over $\mathbb{C}$ for $P$ entero positivo polinomios. Sin embargo, me parece que no puede obtener una prueba.

Me gruesa, y hay una prueba evidente, o es obviamente falsa? Si es falsa, ¿alguien puede proporcionar un ejemplo de una familia, preferiblemente infinito, de algebraicamente independiente de ( $\mathbb{C}$ ) meromorphic funciones en el avión?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Deje $f_n(z)=e^{z^n}$. Suponga $P(f_1,\ldots,f_n)=0$$P\in\Bbb C[X_1,\ldots, X_n]$. Cada monimial $a_{i_1,\ldots, i_n}X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$ $P$ contribuye $a_{i_1,\ldots, i_n}e^{i_1z+i_2z^2+\ldots+i_nz^n}$. Como los polinomios $i_1X+i_2X^2+\ldots+i_nX^n\in\Bbb Z[X]$ son parejas distintas y no tienen término constante, sabemos (véase la reclamación a continuación) que el $e^{i_1z+i_2z^2+\ldots+i_nz^n}$ $\Bbb C$- linealmente independientes, por lo tanto todos los $a_{i_1,\ldots, i_n}$$=0$.

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Aquí está el eslabón perdido:

La reclamación. La familia $\left\{t\mapsto e^{tf(t)}\right\}_{f\in\Bbb R[X]}$ funciones $\Bbb R\to\Bbb R$ $\Bbb R$- linealmente independientes.

Prueba. Podemos definir un orden total en $\Bbb R[X]$ dejando $$f\prec g\iff \exists x_0\in\Bbb R\colon \forall x>x_0\colon f(x)<g(x).$$ Equivalently, the order is determined by the sign of the leading coefficient of $f-g$. Desde cero polinomios no son asintóticamente a cero, tenemos $$\tag1 f\prec g\implies \exists r>0\colon\exists x_0\in\Bbb R\colon\forall x>x_0\colon f(x)<g(x)-r$$ Asumir el dado de la familia de funciones no es independiente y dejar $$\tag2 \sum_{i=1}^n \alpha_ie^{tf_i(t)}\equiv 0$$ ser una dependencia lineal de la relación con el mínimo de $n$. A continuación, $n\ge 1$ y todos los $\alpha_i$ son no-cero. Podemos suponer wlog. que $f_1\prec f_2\prec\ldots \prec f_n$. Si multiplicamos $(2)$$e^{-tf_n(t)}$, obtenemos $$-a_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_ie^{t(f_i(t)-f_n(t))} $$ El uso de $(1)$ tenemos $f_i(t)-f_n(t)<-r<0$$t\gg 0$, por lo tanto $e^{t(f_i(t)-f_n(t)}\to 0$$t\to +\infty$. Llegamos a la conclusión de $a_n=0$ contrario a nuestra hipótesis. $\square$

Corolario. La familia $\left\{z\mapsto e^{zf(z)}\right\}_{f\in\Bbb R[X]}$ funciones $\Bbb C\to\Bbb C$ $\Bbb C$- linealmente independientes. $\square$