Para qué valores de a$\gamma > 0$, $n^{\gamma} (\sqrt[n]{n} - 1)^2$ convergen?

Question

Esto no es para hacer la tarea, pero por favor me gustaría sólo como una sugerencia. La pregunta

Para qué valores de a$\gamma > 0$, $n^{\gamma} (\sqrt[n]{n} - 1)^2$ convergen?

Hice un par de pruebas, y creo que a $n^{\gamma} (\sqrt[n]{n} - 1)^2 \to 0$$0 < \gamma < 2$, e $n^{\gamma} (\sqrt[n]{n} - 1)^2 \to \infty$$\gamma \geq 2$. He estado trabajando en la segunda afirmación un poco, pero no ha hecho ningún progreso real. Si puedo demostrar que $n^2 (\sqrt[n]{n} - 1)^2 \to \infty$ entonces se haría con la segunda afirmación. La secuencia de $n^2 (\sqrt[n]{n} - 1)^2$ crece muy lentamente, por lo que tal vez pueda obtener un más fácil límite inferior de $exp(n^2 (\sqrt[n]{n} - 1)^2)$? Cualquier sugerencia o sugerencias sería muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia :

$$ n^{\frac{1}{n}}-1= \exp(\frac{\log(n)}{n})-1= (\frac{\log(n)}{n})+O((\frac{\log(n)}{n})^2) ... $$

Answer 2

$$n(\sqrt[n] n-1)=\frac {n(\sqrt[n] n-1)(\sqrt[n] n+1)}{(\sqrt[n] n+1)}=\frac {n^{ (n+2)/n}-n}{n^{ 1/n}+1}\to \infty$$