Me alegro de que hayas encontrado los enlaces a la Pregunta de MO útil. Permítanme añadir un par de observaciones complementarias (que probablemente debería añadir a la respuesta de allí en algún momento):
I.
Recientemente, Woodin ha estado estudiando un axioma que llama "Ultimate $L$ ", véase por ejemplo esto Pregunta de MO y los enlaces que proporciono allí. La intención del axioma es proporcionar un marco que debería ser consistente con todos los grandes cardinales conocidos, e implica que el universo admite una estructura fina similar a la de $L$ o, más exactamente, al del modelo central.
Es una consecuencia del axioma (adecuadamente formulado) que $\mathsf{GCH}$ se mantiene (en un sentido fuerte, incluso tenemos definibilidad). De hecho, se puede proporcionar un límite superior para la complejidad de un buen ordenamiento de los reales, utilizando un predicado para los conjuntos universalmente Baire. La presencia de este predicado puede explicarse, a grandes rasgos, como sigue: El axioma postula que el universo está aproximado por "ratones", y un buen ordenamiento de los reales puede remontarse a la existencia de estrategias para comparar con éxito estos ratones, pero estas estrategias pueden ser codificadas a través de conjuntos universalmente Baire.
Uno se queda con la pregunta de si este es un axioma "razonable" para añadir a $\mathsf{ZFC}$ . De hecho, se puede pensar en ello como una "terminación". La cuestión es que deberíamos ser capaces de mostrar la consistencia de cualquier teoría "natural" mostrando que se mantiene en algún modelo interno apropiado de una extensión forzada de un segmento inicial de rango de $V$ . Se espera que esto sea una consecuencia de una versión adecuada del llamado $\Omega$ -conjetura Véase, por ejemplo este documento de Bagaria-Castells-Larson para una introducción. La filosofía que se defiende aquí es que lo único que debe importarnos es la capacidad de interpretación de una teoría (de conjuntos). Dos teorías que son bi-interpretables se consideran igual de buenas, y preferir una sobre otra es una cuestión de estética más que otra cosa.
II.
Curiosamente, no mencioné en la parte de los ejes de forzamiento de mi respuesta a la pregunta primero enlazada arriba que hay alguna expectativa de que el máximo de Martin, $\mathsf{MM}$ o, al menos, un refuerzo natural, debería proporcionarnos un buen ordenamiento (de cara a la luz) de los reales (!).
Varios teóricos del juego de primer nivel han trabajado constantemente para resolver esta cuestión, pero aún no lo hemos conseguido.
