Cómo dividir un círculo con dos acordes perpendiculares para minimizar (y maximizar) la siguiente expresión

Question

Considere un círculo con dos acordes perpendiculares, dividiendo el círculo en cuatro regiones $X, Y, Z, W$ (etiquetado):

¿Cuál es el valor máximo y mínimo posible de

$$ \frac {A(X) + A(Z)}{A(W) + A(Y)}$$

donde $A(I)$ denota el área de $I$ ?

Sé (instintivamente) que el valor será máximo cuando los dos acordes sean los diámetros del círculo, en ese caso, el área de las cuatro regiones será igual y el valor de la expresión será $1$ .

Sin embargo, no sé cómo probar esto rigurosamente. Y no tengo ni idea de cómo minimizar la expresión.

Answer 1

Supongamos que la línea $BD$ entre zonas $X\cup Y$ y $W\cup Z$ es siempre horizontal, por lo que la otra cuerda será siempre vertical. Puedes suponer que tu círculo es el círculo unitario (ya que el radio se cancelará en la expresión en cualquier caso). Puedes parametrizar toda tu configuración mediante las coordenadas de la intersección entre estas dos cuerdas, es decir, el punto $D=(x,y)$ con $x^2+y^2\le1$ . En función de estas coordenadas, puede calcular las áreas descritas en su pregunta, utilizando segmentos circulares y triángulos. Hice esto usando sage y el feo resultado se ve así:

-(2*x*y - 2*sqrt(-x^2 + 1)*sqrt(-y^2 + 1) + sqrt(2*sqrt(-y^2 + 1)*x -
2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2)*sqrt(-1/2*sqrt(-y^2 + 1)*x + 1/2*sqrt(-x^2 +
1)*y + 1/2) + sqrt(1/2*sqrt(-y^2 + 1)*x - 1/2*sqrt(-x^2 + 1)*y +
1/2)*sqrt(-2*sqrt(-y^2 + 1)*x + 2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2) -
2*arcsin(1/2*sqrt(2*sqrt(-y^2 + 1)*x - 2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2)) -
2*arcsin(1/2*sqrt(-2*sqrt(-y^2 + 1)*x + 2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2)))/(2*x*y
+ 2*sqrt(-x^2 + 1)*sqrt(-y^2 + 1) - sqrt(2*sqrt(-y^2 + 1)*x +
2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2)*sqrt(-1/2*sqrt(-y^2 + 1)*x - 1/2*sqrt(-x^2 +
1)*y + 1/2) - sqrt(1/2*sqrt(-y^2 + 1)*x + 1/2*sqrt(-x^2 + 1)*y +
1/2)*sqrt(-2*sqrt(-y^2 + 1)*x - 2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2) +
2*arcsin(1/2*sqrt(2*sqrt(-y^2 + 1)*x + 2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2)) +
2*arcsin(1/2*sqrt(-2*sqrt(-y^2 + 1)*x - 2*sqrt(-x^2 + 1)*y + 2)))

Si tuviera que hacer las cosas manualmente, podría dedicar tiempo a simplificar esta bestia, pero como lo único que me importa en este momento es visualizar esto, estoy bien mientras mi ordenador pueda con ello.

Puedes polotear el resultado. Para $x,y\ge0$ el resultado es el siguiente:

En el plano inferior se ve el cuarto de círculo de todas las ubicaciones posibles para $D$ y en la dirección vertical se ve el valor de su fracción. En esta imagen, el valor máximo de $1$ sí se puede observar para $D=(0,0)$ . Pero cualquier punto en una línea horizontal o vertical que pasa por el origen dará el mismo valor. Por lo tanto, basta con que un de las dos líneas pasa por el origen. Lo cual tiene sentido debido a la forma simétrica en que se distribuyen las áreas en el numerador y el denominador en este caso.

El valor mínimo es "obviamente" (¡aunque esto no es una prueba!) en $x=y=\frac12\sqrt2$ es decir, a medio camino entre estos dos y en el mismo borde del círculo. Allí se obtiene un valor de

$$\frac{\pi-2}{\pi+2}\approx 0.222$$

Tenga en cuenta que este es el mismo valor David H ya ha cedido un comentario .

Pero, como ya se ha señalado en los comentarios, no es ni mucho menos evidente que $D$ tiene que estar en el primer cuadrante. En otras palabras, si no asocia siempre $W$ con el área que contiene el origen, entonces el valor máximo será necesariamente el recíproco de su valor mínimo, es decir

$$\frac{\pi+2}{\pi-2}\approx 4.504$$

Para visualizar este caso con todos los cuadrantes incluidos, se puede ampliar el gráfico anterior al siguiente:

Dado que las escalas de las distintas áreas son muy diferentes, la forma general podría ser más clara si tomas los logaritmos de las fracciones que has dado. Entonces se obtiene el siguiente resultado simétrico:

Al considerar las formas de demostrar estos hechos, la observación de las parcelas puede sugerir posibles enfoques. Por ejemplo, podrías argumentar que buscar un mínimo en un cuarto de círculo es suficiente, ya que todos los demás casos pueden reducirse a ése. Podrías utilizar coordenadas polares, como sugiere la malla de los gráficos anteriores. Podrías intentar demostrar que al aumentar el radio siempre disminuye el valor de la función, por lo que basta con buscar configuraciones que tengan $D$ en el propio círculo. Entonces tienes un problema de 1d mucho más simple, que debería estar abierto a las técnicas comunes del cálculo.

Answer 2

Cuando el cociente considerado no es constante tiene un valor máximo $\mu>1$ y el valor mínimo es entonces ${1\over \mu}$ . Afirmo que $$\mu={\pi+2\over\pi-2}\doteq4.504\ ,\tag{1}$$ como conjetura MvG.

Prueba. Me refiero a la figura anterior. Como la suma de las cuatro áreas es constante, el cociente en cuestión es máximo cuando $$S(\alpha,p):={\rm area}(X)+{\rm area}(Z)\qquad\left(-{\pi\over2}\leq\alpha\leq {\pi\over2}, \quad 0\leq p\leq1\right)$$ es máxima.

Girar el torniquete alrededor del punto $(p,0)$ y observando los "sectores infinitesimales" así surgidos vemos que $$\eqalign{{\partial S\over\partial\alpha}&={1\over2}\bigl((r_1^2-r_4^2)+(r_3^2-r_2^2)\bigr)\cr &={1\over2}\bigl((r_1+r_3)^2-(r_4+r_2)^2-\bigr)+(r_2r_4-r_1r_3)\cr &=2\bigl((1-p^2\sin^2\alpha)-(1-p^2\cos^2\alpha)\bigr)+0\cr &=2p^2(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)\ . \cr}$$ De ello se desprende lo siguiente: A partir de $\alpha=-{\pi\over2}$ tenemos $S={\pi\over2}$ entonces $S$ disminuye para $-{\pi\over2}<\alpha<-{\pi\over4}$ a partir de ese momento aumenta hasta $\alpha={\pi\over4}$ y finalmente disminuye de nuevo a $S={\pi\over2}$ en $\alpha={\pi\over2}$ . De ello se desprende que para el $p\geq0$ la zona $S$ es máxima en $\alpha={\pi\over4}$ .

Ahora arreglamos $\alpha={\pi\over4}$ y mover el centro $(p,0)$ del torniquete de $(0,0)$ à $(1,0)$ . En lugar de "sectores infinitesimales" ahora tenemos "trapecios infinitesimales" y obtenemos $${\partial S\over\partial p}={1\over\sqrt{2}}((r_2+r_3)-(r_1+r_4)\bigr)>0\qquad(0<p\leq1)\ .$$ De ello se desprende que $S$ es máxima cuando $\alpha={\pi\over4}$ y $p=1$ . En este caso se tiene $S=1+{\pi\over2}$ , lo que lleva a la $\mu$ dado en $(1)$ .