Probabilidad de que un cierto rollo de dados suma ignorando menor rollos

Question

El número de maneras de obtener un total de $p$ $n$ rollos de $s$caras de los dados es:

$$c=\sum_{k=0}^{\lfloor(p-n)/s\rfloor}(-1)^k\binom{n}k\binom{p-sk-1}{n-1}\;.$$

Lo que me interesa es hacer la $n$ rollos, pero, a continuación, haciendo caso omiso de la menor $m$ rollos. E. g. de los cinco rollos $1, 5, 3, 5, 6$, caso omiso de las más bajas de dos de las $1$$3$.

Quiero saber el número de maneras de obtener la $p$ como la suma del resto de las $n-m$ rollos. (En mi ejemplo, la suma se $5+5+6=16$, con de curso $n=5, m=2$)

Answer 1

Este es un acercamiento de fuerza bruta, lo que resulta en muy expresiones largas y sumatorias. No estoy seguro de si esto es útil, pero creo que, es un comienzo.

Deje $c(n,p,s)$ denotar el número de maneras de obtener una suma de $p$ $n$ rollos de $s$caras de los dados. Si es que dado que los valores de todos los rollos son, al menos, $r$ y el valor de $r$ se produce exactamente $k$ veces, luego el resto de la $n-k$ de los valores se puede determinar en $c(n-k, p-rn, s-r)$ maneras.

Supongamos $n$ rollos satisfacen la propiedad de que $n-m$ más grande entre ellos se suman a $p$. Deje $r$ ser el más pequeño entre los más grandes de $n-m$ valores. Vamos a no ser exactamente $k$ rollos con valor de $r$ entre los mayores $n-m$. Y dejar que el número de rollos entre los más pequeños $m$ rollos, cuyo valor es igual a$r$$m-i$. Entonces el número de maneras en que podemos conseguir ese $n$ rollos está dada por

$$ \binom{n}{i} \binom{n-i}{k+m-i} (r-1)^i c a(n-m-k,p-r(n-m),s-r) $$

(Las posiciones de $i$ rollos (cuyos valores son inferiores a $r$) y $k+m-i$ rollos (cuyos valores son iguales a $r$) pueden ser recogidas en $\binom{n}{i} \binom{n-i}{k+m-i}$ maneras. Cada uno de estos $i$ de los rollos puede tomar cualquier valor menor que $r$, por lo que hay $(r-1)^i$ de posibilidades de que. Y el resto de $n-m-k$ todos deben ser mayores de $r$ y se suman a $p-rk$, por lo tanto el $c(.)$ plazo.)

La necesaria respuesta es obtenida sumando de la expresión anterior sobre todos los posibles $i$, $r$ y $k$ valores.

$$ \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{n-m} \left[ c(n-m-k,p-r(n-m),s-r) \sum_{i=0}^{m} \binom{n}{i} \binom{n-i}{k+m-i} (r-1)^i \right] $$