Teoría De La Medida De La Desigualdad

Question

Yo estaba teniendo problemas para mostrar la siguiente desigualdad:

Probar que si $A \subset I = [0,1]$ tiene una medida de $u(A) < 1$$\epsilon > 0$, entonces existe un intervalo de $[a,b] \subset I$ tal que $u(A \cap [a,b]) < \epsilon(b-a)$. (Donde $u$ denota la Medida de Lebesgue)

Yo estaba pensando de mostrar que el conjunto de $I \setminus A$ contiene un intervalo de $[a,b]$ pero no necesariamente esto porque $I/A$ puede ser un conjunto, tales como la irrationals.

De lo contrario, no estoy seguro de por dónde empezar. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Sugerencia:

Por Lebesgue densidad del teorema, para casi cada punto de $x$$I-A$, tenemos $$\lim_{\delta \to 0}\dfrac{\mu((I-A)\cap[x-\delta, x+\delta])}{2\delta} = 1$$ and $$\mu((I-A)\cap[x-\delta, x+\delta]) = 2\delta -\mu(A\cap [x-\delta, x+\delta]) $$ which gives $$\lim_{\delta \to 0}\dfrac{\mu(A\cap [x-\delta, x+\delta])}{2\delta} = 0$$