Demostrando que el doble de la $\mathcal{l}_p$ norma es la $\mathcal{l}_q$ norma.

Question

Deje $\| \cdot \|$ ser una norma en $\mathbb{R}^n$. Los asociados de doble norma, denotado $\| \cdot \|_*$ está definido como $\| z \|_* = \sup\{ z^{t} x : \| x \| < 1 \}$.

¿Alguien sabe cómo demostrar que el doble de la norma de la $\mathcal l_{p}$ norma es la $\mathcal l_{q}$ norma? No es la tarea. He estado leyendo acerca de las normas y se afirma sin pruebas en un libro. Gracias.

Answer 1

Edit: he editado mi respuesta para ajustarse más a la notación del papel que enlaza.

En primer lugar, supongamos $||\cdot||$ es una norma en $\mathbb{R}^n$, y el doble de la norma $||\cdot||_*$ se define como $$ ||z||_* := \sup \{ z^{\top} x : x \in \mathbb{R}^n, ||x|| \leq 1\} $$ para todos los $z \in \mathbb{R}^n$. Tenga en cuenta que la cantidad de $z^{\top} x = z\cdot x = \sum_{i=1}^n z_ix_i$ es sólo el producto escalar de a $z$ $x$ si se considera tanto como vectores fila.

El papel que enlaza sólo se menciona el caso de $1<p,q<\infty$, por lo que vamos a trabajar en ese marco, y no te preocupes por el extremal de los casos. Fix $p,q \in (1,\infty)$ Titular conjugados (es decir,$\frac1p + \frac1q = 1$). Por otra parte, fix $z=(z_1,\ldots,z_n) \in \mathbb{R}^n$. Vamos a mostrar que $$ \sup \left\{ \sum_{i=1}^n z_ix_i : x=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n, ||x||_q \leq 1\right\} = ||z||_p. $$ Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $z \neq 0$, de lo contrario, ambas normas son trivialmente cero.

Deje $x=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n$ $||x||_q \leq 1$ ser dado. Tenemos por parte del Titular de la desigualdad que $$ \sum_{i=1}^n z_ix_i \leq \sum_{i=1}^n |z_ix_i|= ||zx||_1 \leq ||z||_p ||x||_q \leq ||z||_p $$ De ahí el supremum en cuestión es en la mayoría de las $||z||_p$. Con el fin de mostrar que el supremum es exactamente $||z||_p$, basta con encontrar un solo $y \in \mathbb{R}^n$ $||y||_q \leq 1$ tal que $\sum_{i=1}^n z_iy_i = ||z||_p$.

Deje $x := \mathrm{sign}(z) |z|^{p-1}$, es decir, $x_i := \mathrm{sign}(z_i)|z_i|^{p-1}$ todos los $i=1,\ldots,n$. Calculamos $$ \sum_{i=1}^n z_i x_i = \sum_{i=1}^n z_i \mathrm{signo}(z_i)|z_i|^{p-1} = \sum_{i=1}^n |z_i|^p = ||z||_p^p $$ donde aquí hemos utilizado el hecho de que $z_i \mathrm{sign}(z_i) = |z_i|$. Además, calculamos $$ ||x||_q^q = \sum_{i=1}^n |x_i|^q = \sum_{i=1}^n |\mathrm{signo}(z_i)|z_i|^{p-1}|^q = \sum_{i=1}^n |z_i|^{q(p-1)}= \sum_{i=1}^n |z_i|^p =||z||_p^p $$ donde aquí hemos utilizado el hecho de que desde $\frac1p + \frac1q = 1$ tenemos $q(p-1) = p$. Ahora elija $y := \frac{x}{||x||_q}$ (esto es donde hemos utilizado el hecho de que $z \neq 0$, por lo que el $||x||_q > 0$). Por construcción tenemos $||y||_q = 1$, y $$ \sum_{i=1}^n z_i y_i = \sum_{i=1}^n z_i \frac{x_i}{||x||_q} = \frac{1}{||x||_q}\sum_{i=1}^n z_i x_i $$ y usando el hecho de que $||x||_q = (||x||_q^q)^{1/q} = (||z||_p^p)^{1/q} = ||z||_p^{p/q}$ y $\sum_{i=1}^n z_ix_i = ||z||_p^p$ tenemos que $$ \frac{1}{||x||_q}\sum_{i=1}^n z_i x_i = \frac{1}{ ||z||_p^{p/q}}||z||_p^p = ||z||_p^{p-p/q} = ||z||_p $$ donde aquí hemos utilizado el hecho de que $\frac1p + \frac1q = 1$ implica $p-p/q = p(1-1/q) = p(1/p) = 1$. Así que hemos encontrado $y \in \mathbb{R}^n$ $||y||_q \leq 1$ tal que $\sum_{i=1}^n z_i y_i = ||z||_p$ como se desee, para completar la prueba.