La probabilidad Expectativa de un máximo de 5 dados

Question

Estoy tratando de entender la parte c de la siguiente pregunta (tomado de Pitman de la Probabilidad, en el Capítulo 3.1). Entiendo que la solución con la diferencia de que el máximo de probabilidades, pero no entiendo el argumento de simetría.

Más específicamente donde está el 7 viene? Intuitivamente tiene sentido que el mínimo y el máximo sería simétrica, pero no puedo averiguar por qué es esta particular relación.

Una sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

El $7$ es debido a la simetría de las probabilidades. La probabilidad de rodadura $X$ es igual a la probabilidad de rodadura $7-X$. Si desea calcular la expectativa de la mínima, se puede seguir a través del cálculo de la máxima, pero el cambio de la dirección de la $\le$ signos. Un enfoque alternativo es calcular la expectativa de que el máximo de $7-\text{ roll}$ para cada uno de los troqueles y restar de $7$. Esto sólo requiere que el $P(1)=P(6), P(2)=P(5), P(3)=P(4)$, pero las tres probabilidades pueden ser diferentes y el cálculo todavía funciona.

Answer 2

\begin{align} 7-1 & = 6 \\ 7-2 & = 5 \\ 7-3 & = 4 \\ 7-4 & = 3 \\ 7-5 & = 2 \\ 7-6 & = 1 \\ \uparrow & \phantom{={}} \uparrow \\ a & \phantom{{}={}} b \end{align} En la columna de $a$ ve los números en $1,2,3,4,5,6$ y en la columna $b$ ves a esos mismos seis números.

Si el resultado $X$ es uno de los números de $1,2,3,4,5,6,$ todos con igualdad de probabilidades, $7-X$ es también uno de los seis números, todos con igualdad de probabilidades.

Y si el máximo en cinco ensayos $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$$M$, el mínimo de $7-X_1,7-X_2, 7-X_3,7-X_4, 7-X_5,7-X_6$ $7-M.$