Demostrar que el valor mínimo de $\sin^n(x)+\cos^n(x)$$\frac{1}{2^{\frac{n}{2}-1}}$, si n es incluso

Question

Un par de días atrás, he descubierto una relación entre el $\sin^n(x)+\cos^n(x)$, cuando n es par.

Su valor mínimo fue siempre $\frac{1}{2^{\frac{n}{2}-1}}$.

Traté de probar esto, y hacerla extensiva a los casos en que $n$ era extraño, pero no he logrado hacerlo. Alguien me puede decir el primer paso? Realmente quiero probar esto por mí mismo.

Gracias de antemano

Answer 1

SUGERENCIA: Probar que $$\sin^{2n}(x)+\cos^{2n}(x)$$ y $$\frac{2^{n-1}-1}{2^n}\cos(4x)+\frac{2^{n-1}+1}{2^n}$$ tienen los mismos puntos mínimos y período. Esto se puede hacer usando identidades trigonométricas. Una vez que haya entregado la suma de funciones trigonométricas en una sola función trigonométrica, usted puede encontrar sus mínimos sin siquiera diferenciar, ya que es sólo una onda coseno.

EDIT: parece que mi "magia de la identidad" fue defectuosa, por lo que he mejorado mi respuesta.

MEJOR SUGERENCIA: Mostrar, utilizando su conocimiento de las identidades trigonométricas, que el período de $\sin^{2n}(x)+\cos^{2n}(x)$$\frac{\pi}{2}$, y que los mínimos se producen en los impares múltiplos de $\frac{\pi}{4}$. A continuación, puedes evaluar a los valores, desde la llamada de ellos será el mismo.

Answer 2

Un esquema:

Escribir $n=2k$ para algunos entero $k$. A continuación, usted desea encontrar el mínimo de $$ \sin^{2k}x+\cos^{2k }x = (1-\cos^2 x)^k + (\cos^2 x)^k $$ sobre todas las $x\in\mathbb{R}$. Debido a $\cos$ es surjective en $[-1,1]$, es equivalente a minimizar $$ f(u) = (1-u)^k + u^{k} $$ sobre todas las $u\in[0,1]$. Para eso, se puede diferenciar el (liso) la función $f$.

Answer 3

Fix $n>1$ real y el uso de $$ \left(\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\right)^{1/n} \ge \frac{a+b}{2}, $$ con $a=\sin^2 x$ $b=\cos^2 x$ (por lo tanto, estamos suponiendo que son $\ge 0$.)

Answer 4

solo una sugerencia para mejorar la

La derivada es

$n\sin (x)\cos (x)\Bigl(\sin^{n-2}(x)-\cos^{n-2}(x)\Bigr)$

el mínimo se alcanza para $x $ tal que

$$\tan (x)=1$$ o $$x=\frac {\pi}{4} $$ usted puede terminar.

Answer 5

SUGERENCIA: resuelva la ecuación $$n\sin(x)^{n-1}\cos(x)-n\cos(x)^{n-1}\sin(x)=0$$